Über Tripelsysteme. (Q1519239)

Das Problem der Tripelsysteme wurde, wie Verf. bemerkt hat, zuerst von Jakob Steiner aufgestellt, der im Jahre 1862 die ,,combinatorische Aufgabe'' notirte: ,,Welche Zahl \(n\) von Elementen hat die Eigenschaft, dass sich die Elemente so zu dreien ordnen lassen, dass je zwei in einer, aber nur in einer Verbindung vorkommen? Wieviel wesentlich verschiedene Anordnungen, d. h. solche, die nicht durch eine blosse Permutation der Elemente aus einander hervorgehen, giebt es bei jeder Zahl? u. s. w.'' (Gesammelte Werke 2, 436). Diese Anordnung von \(n\) Elementen nennt man aber ein Tripelsystem. Eingehend mit Tripelsystemen haben sich dann \textit{M. Noether} [Math. Ann. 15, 87--110 (1879; JFM 11.0075.01)], \textit{E. Netto} [Substitutionentheorie und ihre Anwendungen auf die Algebra. Leipzig: Teubner (1882; JFM 14.0090.01)]; [Math. Ann. 42, 143--152 (1893; JFM 25.0197.04)], \textit{E. H. Moore} [Math. Ann. 43, 271--285 (1893; JFM 25.0198.02)] und \textit{J. de Vries} [Palermo Rend. 8, 222--226 (1894; JFM 25.1207.02)] beschäftigt (vergl. das vorangehende Referat, JFM 28.0128.01), die letzteren drei namentlich mit der Frage der Herstellbarkeit und mit der wirklichen Herstellung von Tripelsystemen bei den einzelnen Zahlen \(n\). Man fand bald, dass Tripelsysteme nur möglich sind bei den Zahlen der Form \(n=6m+1\) und \(n=6m+3\), und dass die Anzahl der Tripel eines Systems, wenn ein solches existirt, \(\frac16 n(n-1)\) ist. Netto hat, abgesehen von einigen zurückführenden Sätzen, gezeigt, wie bei den Primzahlen der Form \(6m+1\) eine cyklische Anordnung der Tripel möglich ist; ebenso, wenn \(n=6m+3\) das Dreifache einer Primzahl der Form \(6k+5\) ist. Allein es blieb noch die Frage offen, ob bei jeder Zahl \(6m+1\) und \(6m+3\) Tripelsysteme existiren. Diese Frage hat Moore in bejahendem Sinne entschieden; freilich in so complicirter Weise, dass eine weitere Vereinfachung erwünscht scheint. Nun hat Verf. schon in einer früheren Arbeit ,,Über das Problem der Nachbargebiete'' [Math. Ann. 38, 477--508 (1891; JFM 23.0543.01), 496 Anm.], beiläufig erwähnt, dass dieses Problem in seiner arithmetischen Einkleidung jenem Steiner'schen Problem der Tripelsysteme verwandt ist. Daher sucht er in der vorliegenden Abhandlung die Ergebnisse jener Arbeit für den Bau von Tripelsystemen nutzbar zu machen. Dies führt dazu, das Problem der cyklischen Anordnung solcher Systeme im Falle \(6m+1\) und \(6m+3\) je auf ein anderes einfacheres arithmetisches Problem zu reduciren. Diese werden, abgesehen von den schon von Netto erledigten Fällen, gelöst für die Fälle \(n=12k+7\), wenn \(4k+3\) eine Primzahl mit der primitiven Wurzel 2 ist, \(n=6m+3\), wenn \(6m+3\) das Dreifache einer beliebigen Primzahl ist, und ausserdem für alle übrigen Zahlen \(6m+1\) und \(6m+3\) unter 100. Mit der allgemeinen Lösung der beiden Probleme würde die erschöpfende Natur der Resultate von Moore mit der Eleganz derer von Netto verbunden sein.