On rational cosines. (Q1519392)

Aus \(x=2(ac+bd)\), \(y=2(ad-bc)\), \(z=a^2+b^2-c^2-d^2\), \(u=a^2+b^2+c^2+d^2\) ergiebt sich \(u^2=x^2+y^2+z^2\). Aus der Möglichkeit der Darstellung jeder Zahl \(u\) als Summe von vier Quadraten ergiebt sich also die Möglichkeit der Darstellung jeder Quadratzahl \(u^2\) als Summe dreier Quadrate. Dies Ergebnis ist trivial, da die Darstellung \(u^2=u^2+0^2+0^2\) mitzählt. Die weiteren Erörterungen geben keinen theoretischen Einblick in die Mannigfaltigkeit der ,,rationalen Richtungscosinus'' \(x/y\), \(y/u\), \(z/u\), sondern liefern nur einige Winke, wie man bei der versuchsweisen Auflösung von \(u=a^2+b^2+c^2+d^2\) in ganzen Zahlen \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) zweckmässig verfahren kann.