On some formulae related to the number of classes. (Q1519433)

Die quadratischen Formen werden in der Gestalt \(ax^2+bxy+cy^2\) angesetzt. Die Discriminante \(D=b^2-4ac\) ist dann entweder \(\equiv1\) oder \(\equiv0\) (mod. 4). Es sollen nur die \(D\) zugelassen werden, welche durch kein Quadrat ausser 4 teilbar sind, und im letzteren Falle soll \(\frac14D\equiv2\) oder 3 (mod. 4) zutreffen. \(Cl(-\Delta)\) bedeutet die Klassenanzahl der Formen negativer Discriminante \(D=-\Delta\), und unter \(\tau\) wird im allgemeinen der Wert 2, jedoch 6 für \(\Delta=3\) und 4 für \(\Delta=4\) verstanden. Unter Anknüpfung an die bekannte Relation: \[ Cl(-\Delta)=-\frac{\tau}{2\Delta}\sum_{\alpha=1}^{\Delta-1}\left(\frac{- \Delta}{\alpha}\right) \alpha \tag{1} \] und unter Vermittelung der zahlentheoretischen Function \(E(x)\) oder \([x]\) gelangt der Verf. für eine beliebige, durch \(\Delta\) nicht teilbare ganze Zahl \(m\) zur Formel: \[ \frac2{\tau}\left[m-\left(\frac{-\Delta}m\right)\right] Cl(-\Delta) = - \sum_{\alpha=1}^{\Delta-1}\left(\frac{-\Delta}{\alpha}\right) E\left(\frac{\alpha m}{\Delta}\right), \] welche er sodann in den Specialfällen \(m=2,3,4\) weiter discutirt. Es ergiebt sich z. B. \[ \sum_{\alpha=[\frac{\Delta}4]+1}^{[\frac{\Delta}3]} \left(\frac{-\Delta}{\alpha}\right) = \frac{1-\left(\frac{\Delta}2\right) + \left(\frac{\Delta}3\right) + \left(\frac{\Delta}4\right)} 2 \cdot Cl(-\Delta), \] eine Formel, welche wegen der weit geringeren Gliederanzahl der Summe geeigneter zur Berechnung der Klassenanzahlen \(Cl(-\Delta)\) erscheint, als (1). Für eine weitere Art von Darstellungen der Function \(Cl(-\Delta)\) diene das Beispiel: \[ Cl(-\Delta) = \frac{\tau\sqrt{\Delta}}{2\pi} \sum_{\nu=1}^\infty\left(\frac{- \Delta}{\nu}\right) \frac{\cos2\nu x\pi}{\nu}, \] wo \(x\) eine dem Intervall \(0\leqq x<\frac1{\Delta}\) angehörende Grösse ist. Für \(x=0\) entspringt eine wohlbekannte Dirichlet'sche Gleichung. Den Beschluss bilden einige mit den voraufgehenden Entwickelungen zusammenhängende Rechnungen im Anschluss an Kronecker's Untersuchungen über Modulfunctionen sowie insbesondere an dessen bekannte ,,Grenzformel'' (cf. F. d. M. 21, 485, 1889, JFM 21.0485.01, und 22, 471, 1890, JFM 22.0471.01).