On the theory of integral ternary cubic forms decomposable into linear factors. (Q1519435)

Die Abhandlung zerfällt in zwei grössere Abschnitte. In dem ersten, elementareren Abschnitt sind die einzelnen Formen Gegenstand der Untersuchung, und zwar speciell das Problem der Aufsuchung der Automorphien derselben, d. h. derjenigen ganzzahligen Substitutionen, welche die zu betrachtenden Formen in sich überführen. Weiter wird das Problem der Aequivalenz zweier Formen, sowie die Aufgabe, gegebene Zahlen durch eine gegebene Form darzustellen, behandelt. Die fundamentale Methode, die den ganzen ersten Teil beherrscht, ist die von Hermite in die Zahlentheorie eingeführte ,,réduction continuelle''. Charakteristisch für die Darstellung ist ferner das Herbeiziehen räumlicher Punktgitter, die dazu dienen, ein geometrisch anschauliches Bild der réduction continuelle zu entwerfen. Zu der Anwendung der Gitter bei den betrachteten Formen ist der Verf. durch Felix Klein angeregt worden. In dem zweiten Teile der Abhandlung werden im Gegensatze zum ersten nicht einzelne Formen, sondern Formencomplexe betrachtet und wird besonders die Composition der Formen eines Complexes und ihr Zusammenhang mit der Theorie der Ideale untersucht. Die dieser Betrachtung zu Grunde liegende Auffassung entstammt einer Note von Felix Klein (vgl. F. d. M. 25, 312, 1893, JFM 25.0312.06) und einer Vorlesung desselben. Da Klein die Entwickelung nur für binäre quadratische Formen gemacht hatte, so war jetzt nachzuweisen, dass dieselben Ideen auch für die höheren Körper und Formen, also zunächst für die kubischen, mit Erfolg zu benutzen seien, und dass insbesondere das Grundgesetz der Idealtheorie unter Heranziehung der Formen auf einfache und durchsichtige Weise abgeleitet werden könne. Die Einteilung der Arbeit ist aus dem folgenden Inhaltsverzeichnis ersichtlich: Einleitung. Vorbereitendes. \S\ 1. Definition der zu betrachteten Formen; Discriminante. \S\ 2. Geometrische Interpretation der Formen. \S\ 3. Ternäre definite quadratische Formen. Erster Hauptteil. Aequivalenzproblem der einzelnen Formen. \S\ 4. Reducirte kubische Formen und endliche Anzahl derselben bei gegebener Discriminante. \S\ 5. Réduction continuelle. \S\ 6. Reproducirende Gruppe. \S\ 7. Beispiele. \S\ 8. Aequivalenz zweier Formen und Darstellung der Zahlen durch die Formen. Zweiter Hauptteil. Die associirten Formen. I. Abschnitt. Automorphien. \S\ 9. Aufsuchung der zu einer gegebenen Discriminante gehörigen kubischen Zahlkörper. \S\ 10. Volle Formensysteme. \S\ 11. Die Automorphien der associirten Formen. II. Abschnitt. Composition und Gitterzahlen. \S\ 12. Definition der Multiplication von Gitterzahlen und Composition von Formen. \S\ 13. Allgemeine Sätze über die Composition. \S\ 14. Composition der Stamm- und Zweiggitter. \S\ 15. Orientirung der Gitter. \S\ 16. Multiplication und Division der Gitterzahlen. \S\ 17. Die eindeutige Zerlegbarkeit der Gitterzahlen in Primfactoren.