Der mittlere Beobachtungsfehler. (Q1519466)

Jacobi hat zuerst gezeigt, dass man aus \(n\) Fehlergleichungen mit \(m\) Unbekannten \((n\geqq m)\) die sich nach der Methode der kleinsten Quadrate ergebenden Werte der Unbekannten auch erhält, wenn man die \(\binom nm\) möglichen Systeme zu je \(m\) Gleichungen einzeln auflöst. Für eine bestimmte Unbekannte erhält man so die \(\binom nm\) Werte \(\frac{A_1}{B_1}\), \(\frac{A_2}{B_2}\), ..., aus welchen sich ihr resultirender Wert als eine Mittelgrösse von der Form \(\frac{A_1B_1+A_2B_2+\cdots}{B_1^2+B_2^2+\cdots}\) ergiebt. Einen ähnlichen Weg sucht nun der Verf. zur Ableitung des mittleren Fehlers einzuschlagen. Er setzt nämlich die aus den \(\binom nm\) Combinationen zu je \(m\) Gleichungen erhaltenen Werte der Unbekannten jedesmal in sämtliche \(n\) Gleichungen ein und bestimmt die so entstehenden übrig bleibenden Fehler. Jeder dieser \(n\) \(\binom nm\) Fehler hat dann die Form: eine Determinante \((m+1)^{\text{ten}}\) Grades dividirt durch eine Determinante \(m^{\text{ten}}\) Grades. Der Verf. definirt nun das mittlere Fehlerquadrat \(F^2\) als den Quotienten aus der Summe der Quadrate sämtlicher Dividenden, dividirt durch die Summe der Quadrate der Divisoren der \(n\) \(\binom nm\) Bruchausdrücke, wobei eine bestimmte Anzahl von Dividenden gleich Null ist. Aus dieser Definition folgt unter Heranziehung früherer Untersuchungen des Verf.: \(F^2=\frac{m+1}n[vv]\), wo \([vv]\) die nach der Methode der kleinsten Quadrate erhaltene kleinste Fehlerquadratsumme bedeutet; der Gauss'sche Wert des mittleren Fehlerquadrats ist dagegen \(F^2=\frac1{n-m}[vv]\). Diese beiden Ausdrücke stimmen nur für \(n=m+1\) überein; für alle Werte \(n>m+1\) ist der des Verf. grösser als der Gauss'sche. Da Veltmann seinen Ausdruck für \(F^2\) ziemlich analog der unbestritten richtigen Jacobi'schen Bestimmung der Unbekannten gebildet hat, so meint er: ,,Es wird also wohl gegen obige Herleitung des mittleren Fehlers nichts Wesentliches eingewendet werden können'', und ferner: ,,Was die Plausibilität betrifft, dürfte meine Herleitung und somit auch das Resultat derselben nichts zu wünschen übrig lassen.'' Die Hinfälligkeit dieser Behauptungen geht unter anderm aber schon daraus hervor, dass für \(m=n\) der Veltmann'sche Ausdruck für \(F^2\) den unsinnigen Wert Null giebt, während der Gauss'sche in diesem Falle sehr vernünftig die Form \(\frac00\) annimmt.