On double infinite series and double infinite products. (Q1519485)

I. ,,Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Convergenz der Doppelreihe bestehen darin, dass zu jeder beliebig kleinen positiven Grösse \(\delta\) ganze Zahlen \(m\) und \(n\) von solcher Art zu finden sind, dass für alle ganzen Zahlen \(\mu\geqq m\) und \(\nu\geqq n\) und für jedes ganzzahlige Wertepaar \(\sigma,\tau=0,1,2,\dots\) \(|s_{\mu+\sigma,\nu+\tau}- s_{\mu,\nu}|<\delta\) wird.'' Dabei bedeutet \(s_{\mu,\nu}\) die Summe der Partialsummen \(a_{11}+\cdots+a_{1\nu},\, a_{21}+\cdots+a_{2\nu},\,\dots,\, a_{\mu1}+\cdots+a_{\mu\nu}\). --- Hieran schliesst sich die Beziehung der Doppelreihe zu den Partialreihen (Horizontal- oder Verticalreihen) und zu der Summe der Reihen \(d_1,d_2,\dots\), wo \(d_k=a_{k,1}+a_{k- 1,2}+\cdots+a_{1,k}\) ist; und einige Sätze über Doppelreihen mit positiven Gliedern; ferner: Eine Doppelreihe \(\sum a_{\mu\nu}\) aus unendlich vielen positiven Grössen \(a_{\mu\nu}'\) und unendlich vielen negativen Grössen \(a_{\mu\nu}^{''}\) hat nur dann einen von der Anordnung der Glieder unabhängigen endlichen Grenzwert, wenn sie absolut convergirt, d. h. wenn \(\sum|a_{\mu\nu}|\) convergirt. Heissen die Grenzwerte der Reihen \(\sum a_{\mu\nu}'\) und \(\sum a_{\mu\nu}^{''}\) \(s'\) und \(s''\), so ist der Grenzwert (die Summe) der Doppelreihe \(s'-s''\). Nach einer Besprechung der Doppelreihe \[ \begin{multlined} a_{11}-a_{12}+\cdots+(-1)^{\nu+1}a_{\nu}+\cdots-a_{21}+a_{22}- \cdots+(-1)^{\nu+2}a_{2\nu}+\cdots\\ +(-1)^{\mu+1}a_{\mu1}+(-1)^{\mu+2}a_{\mu2}+\cdots+(- 1)^{\mu+\nu}a_{\mu\nu}+\cdots,\end{multlined} \] wo die \(a_{\mu\nu}\) positiv sind, wird gezeigt: Wenn für jedes Wertepaar \(\mu\), \(\nu\) \[ \left|\frac{a_{\mu\nu}}{a_{\mu-1,\nu}}\right|<h=\frac1{r_1}\text{ und }\left|\frac{a_{\mu\nu}}{a_{\mu,\nu-1}}\right|<k=\frac1{r_2} \] ist, wo \(h\) und \(k\) positive Grössen bezeichnen, so convergirt die Potenzreihe \(\sum a_{\mu\nu}x_1^{\mu}x_2^{\nu}=\mathfrak B(x_1,x_2)\,(\mu,\nu=0,\dots\infty)\) an jeder Stelle \((x_1,x_2)\) des durch die Ungleichungen \(|x_1|<r_1\), \(|x_2|<r_2\) bestimmten Bereiches. Wenn \[ \lim_{\mu=\infty}\left|\frac{a_{\mu\nu}}{a_{\mu- 1,\nu}}\right|\,(\nu=0,1,2,\dots)\text{ und }\lim_{\nu=\infty}\left|\frac{a_{\mu\nu}}{a_{\mu ,\nu-1}}\right|\,(\mu=0,1,2,\dots) \] existiren und kleiner als 1 sind, so convergirt die Doppelreihe \(\sum a_{\mu\nu}\) absolut. Wenn jedoch diese Grenzwerte grösser als 1 sind, so divergirt die Doppelreihe \(\sum a_{\mu\nu}\). Wenn die Grössenmenge \[ \left|a_{\mu\nu}\right|^{\frac1{\mu+\nu}}\,(\mu,\nu=0,1,2,\dots), \] wo die Verbindung \(\mu=0\), \(\nu=0\) ausgeschlossen sein möge, eine obere Unbestimmtheitsgrenze \(g<h<1\) besitzt, so convergirt \(\sum a_{\mu\nu}\) absolut. Eine Potenzreihe \(\mathfrak B(x_1,x_2)\), deren Coefficienten \( a_{\mu\nu}\) die Eigenschaft haben, dass die Grössen \(|a_{\mu\nu}|^{\frac1{\mu+\nu}}\) eine obere Unbestimmtheitsgrenze \(\frac1r\) haben, convergirt oder divergirt, je nachdem \(|x_1|\) und \(|x_2|\) kleiner oder grösser als \(r\) sind. Zum Schlusse wird eine Methode für die Vergleichung einer Doppelreihe mit einer neuen angegeben. II. Bezeichnet man das Product der zweifach unendlichen Folge von Grössen \(c_{11},c_{12},\dots,c_{1n}\), \(c_{21},c_{22},\dots,c_{2n}\) \(,\dots,c_{m1},c_{m2},\dots,c_{mn}\) durch \(P_{mn}\), so wird das unendliche Doppelproduct \(\prod c_{\mu\nu}\,(\mu,\nu=\infty)\) als der Grenzwert von \(P_{mn}\) für \(m=\infty\), \(n=\infty\) erklärt Dasselbe heisst convergent, wenn \(\lim P_{mn}\) einen bestimmten, endlichen, von Null verschiedenen Wert \(P\) besitzt; es heisst divergent, wenn \(\lim P_{mn}\) Null, unendlich oder unbestimmt wird. Lässt sich eine positive endliche Grösse \(g\) derart angeben, dass für edes Wertepaar \(\mu,\nu\) \(|P_{\mu\nu}|>g\) wird, und lassen sich nach Angabe einer beliebig kleinen positiven Grösse \(\delta\) zwei ganze Zahlen \(m\) und \(n\) so bestimmen, dass für jedes \(\mu\geqq m\), \(\nu\geqq n\) und für jedes Wertepaar \(\sigma,\tau=0,1,2,\dots\) \(|P_{\mu+\sigma,\nu+\tau}- P_{\mu\nu}|<\delta\) wird, so ist das Doppelproduct convergent. Es werden sodann die Beziehungen des Doppelproductes zu Teilproducten \[ \prod_\mu(1+a_{\mu\nu}),\,\prod_\nu(1+a_{\mu\nu}) \] und \[ \prod_kd_k=\prod_k(1+a_{k1})(1+a_{k-1,2})\dots(1+a_{1k}) \] besprochen. \(\prod\limits_{\mu,\nu}(1+a_{\mu\nu})\) heisst absolut convergent, wenn \(\prod\limits_{\mu,\nu}(1+|a_{\mu\nu}|)\) convergirt; es heisst unbedingt convergent, wenn es unabhängig von der Anordnung seiner Factoren convergirt. Dann gelten die Sätze: Die notwendige und hinreichende Bedingung für die absolute Convergenz eines unendlichen Doppelproductes \(\prod(1+a_{\mu\nu})\) besteht in der absoluten Convergenz der unendlichen Doppelreihe \(\sum a_{\mu\nu}\). Das absolut convergente Doppelproduct ist unbedingt convergent. Das unbedingt convergente Doppelproduct ist absolut convergent.