Connection between differences and differential quotients. (Q1519542)

Ueber den Zusammenhang der Differenzen und der Differentialquotienten. Der Verf. definirt die Function \(F_m(y)\) durch die Gleichung: \[ \begin{multlined} F_m(y)=\frac1{\underline{|m-1}}\left[\left\{\frac m2-y\right\}^{m-1} - \frac m1\left\{\frac m2-1-y\right\}^{m-1}\right.\\ +\left. \frac{m(m-1)}{1\cdot2}\left\{\frac m2-2-y\right\}^{m-1} - \cdots\right],\end{multlined} \] wo \(\{u\}^m\) gleich \(u^m\) ist, wenn \(u\) positiv, gleich Null, wenn \(u\) negativ. Es wird gezeigt, dass \[ F_{m+1}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}F_m(y-u)F_1(u)du, \] und dass \(F_m(y)\) eine gerade Function ist. Wenn jetzt \[ \begin{aligned} \triangle f(t) &= f(t+1)-f(t),\\ \triangle^2f(t) &= \triangle f(t+1)-\triangle f(t)\text{ u. s. w.},\end{aligned} \] und wenn \(f(t)\) und seine \(n\) ersten abgeleiteten Functionen in dem Intervalle von \(t\) bis \(t+u\) stetig und endlich sind, dann hat man \[ \triangle^nf(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}F_n(y)f^{(n)}(t+\frac u2+y)dy, \] wo \(f^{(n)}\) die \(n^{\text{te}}\) abgeleitete Function bedeutet. Der Verf., welcher sich immer einer Ausdrucksweise bedient, die der Wahrscheinlichkeitsrechnung entlehnt ist, spricht diesen Satz in der Weise aus: \(\triangle^nf(t)\) ist dem Mittelwerte von \(f^{(n)}\left(t+\frac u2+y\right)\) gleich, wenn \(y\) ein Fehler ist, welcher dem Fehlergesetze \(F_n(y)\) unterworfen ist.