Ein Mittelwertsatz für ein System von \(n\) Integralen. (Q1519565)

Siehe auch JFM 28.0254.01. Es wird der Satz aufgestellt: ,,Sind \(\varphi(t)\) und \(\psi(t)\) zwei Functionen der reellen Veränderlichen \(t\), von welchen nur vorausgesetzt wird, dass sie reell und in dem Intervalle \((t_0,\dots,T)\) mit Einschluss der Grenzen stetig sind, so liegen zwischen \(t_0\) und \(T\) zwei Werte \(t_1\) und \(t_2\) und lassen sich ferner zwei positive Zahlen \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) mit der Summe \(\lambda_1+\lambda_2 = 1\) bestimmen, so dass die Gleichungen bestehen: \[ \begin{aligned} \int_{t_0}^T \varphi(t)dt &= (T-t_0)[\lambda_1\varphi(t_1) + \lambda_2\varphi(t_2)],\\ \int_{t_0}^T \psi(t)dt &= (T-t_0)[\lambda_1\psi(t_1) + \lambda_2\psi(t_2)].''\end{aligned} \] Zu jedem Werte \(t\) aus dem Intervalle \((t_0\dots T)\) gehört nun ein bestimmter complexer Wert \(w=\varphi(t)+i\psi(t)\), welchem in bekannter Weise ein Punkt der complexen Ebene entspricht. Die Gesamtheit der zu allen Werten \(t\) des Intervalles \((t_0\dots T)\) gehörigen Punkte \(w\) bildet die Punktmenge \(w\), deren Eigenschaften genauer untersucht und zum Beweise des obigen Satzes verwendet werden. Die zweite Mitteilung giebt eine in einzelnen Punkten vereinfachte Darstellung dieses Beweises. Der Satz lässt sich in leicht erkennbarer Weise auf \(n\) Integrale \(\int\limits_{t_0}^T\varphi_i(t)dt\,(i= 1,2,\dots,n)\) ausdehnen.