Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen. In zwei Bänden. Zweiten Bandes erster Teil. (Q1519584)

Die Fortsetzung des in F. d. M. 26, 329 ff., 1895 (siehe JFM 26.0329.01) besprochenen ersten Bandes des angeführten Werkes ist dazu bestimmt, die speciellen Theorien darzulegen, die sich auf die Natur der Integrale der linearen Differentialgleichungen mit besonderen Eigenschaften beziehen. Die Fülle des zu bearbeitenden Materials hat jedoch eine Teilung des zweiten Bandes notwendig gemacht. Der vorliegende erste Teil behandelt die Gruppentheorie, die Umkehrprobleme und die an die Integration durch bestimmte Integrale sich anschliessenden Theorien. Der Gruppentheorie sind zwei Abschnitte gewidmet. Im neunten Abschnitt wird der Gruppenbegriff in seiner allgemeinsten Bedeutung dargelegt, wobei sowohl auf die Lie'schen Sätze über die infinitesimalen Transformationen und die durch sie erzeugten continuirlichen Gruppen, als auch die Picard'sche Theorie der Resolventen einer Differentialgleichung näher eingegangen wird. Der Verf. unterscheidet Monodromie- oder Eindeutigkeitsgruppe und Transformations- oder Rationalitätsgruppe einer linearen Differentialgleichung. Die erstere umfasst alle Substitutionen, die ein Fundamentalsystem von Integralen bei allen möglichen Umläufen der unabhängigen Variable erfährt, ist also das, was man gewöhnlich Gruppe der Differentialgleichung nennt. Die Transformationsgruppe hingegen hat die genaueste Analogie mit der Galois'schen Gruppe einer algebraischen Gleichung; ihre Substitutionen haben die Eigenschaft, dass jede aus den Elementen eines Fundamentalsystems von Integralen und ihren Ableitungen gebildete rationale Function (Differentialfunction), die bei den Transformationen dieser Gruppe unverändert bleibt, eine rationale Function der unabhängigen Veränderlichen ist, und dass umgekehrt jede rationale Differentialfunction der Elemente, die gleich einer rationalen Function der unabhängigen Variable ist, bei den Transformationen der Gruppe ungeändert bleibt. Wie von der Galois'schen Gruppe die algebraische Auflösung einer gegebenen Gleichung abhängt, so bestimmt für eine lineare Differentialgleichung die ihr zugehörige Transformationsgruppe in gewissem Sinne das bei derselben anzuwendende Integrationsverfahren. Wie in der Algebra wird auch hier mittels Adjunction der Rationalitätsbereich erweitert. Es gelingt dadurch, die Bedingungen für die Integrabilität durch Quadraturen zu finden und im Verfolg derselben, dem Abel'schen Satz von der algebraischen Unauflösbarkeit der allgemeinen Gleichung höheren als vierten Grades entsprechend, den Satz aufzustellen, dass die allgemeine lineare Differentialgleichung höherer als erster Ordnung nicht durch Quadraturen integrirbar ist. --- Während die eben berührten Fragen mehr die formale Seite der Integration der Differentialgleichungen ins Auge fassen, dringt die im zehnten Abschnitt erfolgende Untersuchung der Eigenschaften der Monodromiegruppe einer linearen Differentialgleichung tiefer in das Wesen derselben ein. Denn die Monodromiegruppe liefert ein vollständiges Bild der Verzweigungsart eines Fundamentalsystems von Integralen und leistet also für die lineare Differentialgleichung analytisch dasselbe, wie die Riemann'sche Fläche für eine algebraische Gleichung mit rationalen Coefficienten. Der Klasse gleichverzweigter algebraischer Functionen entspricht hier die Gesamtheit von Differentialgleichungen derselben Art, d. h. solcher, die dieselbe Monodromiegruppe haben. Aus der Fülle der hier behandelten Gegenstände heben wir zunächst die von Fuchs eingeführte Klasse von ,,associirten Differentialgleichungen'' hervor, deren Integrale Subdeterminanten der Determinante eines Fundamentalsystems von Integralen einer vorgelegten Differentialgleichung sind, und die, an sich von hoher Bedeutung, auf die Natur der Beziehungen zwischen den Periodicitätsmoduln der hyperelliptischen Integrale ein so überraschendes Licht werfen, wie in einem späteren Abschnitt dargethan wird. Nicht minder wichtig sind die Sätze über Differentialgleichungen, zwischen deren Integralen homogene Relationen bestehen, Sätze, die mit der Frage der algebraischen Integrirbarkeit in innigem Zusammenhang stehen. Die von Fuchs auf diesem Gebiete eingeleiteten Untersuchungen werden bis zu den neuesten, nach einer gewissen Seite hin abschliessenden Untersuchungen von Wallenberg fortgeführt. Endlich sei noch auf die Wiedergabe des merkwürdigen, neuerdings von Beke auseinandergesetzten Verfahrens hingewiesen, die Frage, ob eine gegebene lineare Differentialgleichung reductibel ist oder nicht, endgültig zu entscheiden. Der elfte Abschnitt beschäftigt sich mit der Formulirung und allgemeinen Discussion der Umkehrprobleme, deren weites Feld ebenfalls von Fuchs zuerst erschlossen ist, dessen Vorgang den Anstoss zu einer Reihe durch ihre Resultate wie durch ihre Methoden gleich hervorragender Arbeiten gegeben hat. Von fundamentaler Wichtigkeit ist hier die Charakterisirung der linearen Differentialgleichungen, bei denen die unabhängige Variable eine eindeutige Function des ,,Orts der Integralcurven'' ist, d. h. der Verhältnisse der Integrale eines Fundamentalsystems. Die Beschränkung auf den Fall der Differentialgleichungen zweiter Ordnung, für die allein bisher eine Erledigung des gestellten Problems möglich gewesen ist, führt auf die Betrachtung der discontinuirlichen Gruppen der projectiven Substitutionen, die auf verschiedenen Gebieten, z. B. bei der Bestimmung der elliptischen Modulfunction, eine so bedeutende Rolle spielen. Es handelt sich dabei besonders um die Construction der Fundamentalpolygone, als Abbildung der Ebene der uuabhängigen Variable durch den Integralquotienten, und um den Nachweis, dass durch die Angabe der projectiven Gruppe des Integralquotienten die in den Coefficienten der Differentialgleichung auftretenden Parameter eindeutig bestimmt sind. Der zwölfte und letzte Abschnitt behandelt die Theorie der Euler'schen Transformirten einer linearen Differentialgleichung, mit deren Hülfe die Integration der letzteren durch bestimmte Integrale über geschlossene Curven geleistet wird. Die Aenderung der Werte dieser ,,Integrationsschleifen'' bei geschlossenen Umläufen des Parameters wird nach der Fuchs'schen Methode der veränderlichen Integrationswege discutirt, und davon wird Anwendung gemacht auf die Differentialgleichungen, denen die Periodicitätsmoduln der hyperelliptischen Integrale genügen. Insbesondere werden die von Weierstrass zuerst für einen beliebigen Rang \(p\) aufgestellten Relationen zwischen den Periodicitätsmoduln der Integrale erster und zweiter Gattung nach dem Vorgange von Fuchs mit Hülfe der schon erwähnten associirten Differentialgleichungen von einem neuen Gesichtspunkte aus behandelt und für \(p=1\) und \(p=2\) vollständig abgeleitet. Zum Schluss werden noch die tieferen Fuchs'schen Untersuchungen, die an den Abel'schen Satz von der Vertauschung von Parameter und Argument für beliebige Differentialgleichungen anknüpfen wiedergegeben. Wegen der Wichtigkeit ihrer Ergebnisse für die Behandlung von Umkehrproblemen bei linearen Differentialgleichungen von höherer als zweiter Ordnung eröffnen sie der weiteren Forschung ein aussichtsvolles Gebiet. Ein hinzugefügter Anhang enthält Nachträge und Berichtigungen zum ersten Bande.