Algebraische und gruppentheoretische Untersuchungen aus dem Gebiete der Differentialgleichungen. (Q1519594)

Es handelt sich in der vorliegenden Arbeit darum, für die im Titel bezeichneten Untersuchungen gewisse Begriffsbestimmungen einzuführen, durch die eine völlige Analogie mit der Algebra hergestellt wird. Zunächst wird für die Anwendung dem Rationalitätsbereich, gegenüber den in der Algebra herrschenden Festsetzungen, eine erweiterte Fassung gegeben, wonach ein System von Functionen von \(x\) einen Rationalitätsbereich bildet, wenn es nicht nur durch die Operationen der vier Species, sondern auch durch die des Differentiirens keine Erweiterung erfährt. Nach Festlegung eines solchen Rationalitätsbereichs \(R_1(x)\) wird der Begriff der Irreducibilität einer Differentialgleichung \(f\left(x,y,\frac{dy}{dx},\dots,\frac{d^my}{dx^m}\right)=0\) eingeführt, wo \(f\) eine ganze rationale Function von \(y\), \(y'\), ..., \(y^{(m)}\) ist mit Coefficienten, die dem Bereich \(R_1(x)\) angehören. Eine derartige Differentialgleichung heisst absolut irreducibel, wenn 1) die linke Seite, als Function von \(y\), \(y'\), ..., \(y^{(m)}\) aufgefasst, im Bereiche \(R_1(x)\) algebraisch irreducibel ist, und 2) die Differentialgleichung kein Integral mit einer Differentialgleichung niedrigerer als der \(m^{\text{ten}}\) Ordnung mit Coefficienten aus \(R_1(x)\) gemein hat. Die Differentialgleichung heisst ferner in Bezug auf ein bestimmtes Integral \(y_1\) oder auf mehrere \(y_1\), ..., \(y_i\) relativ irreducibel, wenn die Bedingung 1) ebenfalls gilt und ferner keines der bestimmten Integrale, Hauptintegrale genannt, einer Differentialgleichung niederer Ordnung mit Coefficienten aus \(R_1(x)\) genügt. Durch Einführung des Begriffs einer relativ irreduciblen Differentialgleichung wird bewirkt, dass der Satz aus der Algebra, wonach jede Wurzel einer Gleichung auch stets Wurzel einer in demselben Rationalitätsbereich irreduciblen Gleichung ist, sein Analogon in dem Satze findet, dass jedes Integral einer reduciblen Differentialgleichung einer in Bezug auf dasselbe relativ irreduciblen Differentialgleichung genügt (während es keiner absolut irreduciblen Differentialgleichung zu genügen braucht). Die Integrale einer Differentialgleichung mit Coefficienten aus \(R_1(x)\) heissen aus \(R_1(x)\) entstammende transcendente Functionen. Weiterhin werden nur solche Differentialgleichungen betrachtet, deren allgemeines Integral \(Y\) als rationale Function von \(p\) particulären Lösungen \(y_1\), ..., \(y_p\) (Fundamentallösungen) und deren Ableitungen mit \(m\) willkürlichen Constanten darstellbar ist: \(Y=\varphi^{(\varrho)}(y_1,y_2,\dots,y_p,y_1',y_2',\dots,y_p^{(l)},\alpha_1 ,\dots,\alpha_m)\) \((\varrho=1,2,\dots,i)\), wo die Coefficienten von \(\varphi\) aus \(R_1(x)\) sind. Einer solchen Differentialgleichung entstammen höchstens \(p\) verschiedene Gattungen transcendenter Functionen (\(p\) Gattungsbereiche). Ist \(p=1\), und ist in Bezug auf die Fundamentallösung \(y_1\) die Differentialgleichung relativ irreducibel, so heisst sie ,,Normaldifferentialgleichung''. Sie ist das Analogon zur Galois'schen Gleichung in der Algebra und hat die wichtige Eigenschaft, dass, wenn man in einer der Functionen \[ Y=\psi^{(\varrho)}(y_1,y_1',\dots,y_1^{(l)},\alpha_1,\dots,\alpha_m) \] \(y_1\) durch ein beliebiges anderes ersetzt, stets wieder ein Integral erhalten wird. Daraus erhellt, dass die Transformationen, die man aus \(Y=\psi^{(\varrho)}\) durch Erweiterung nach Lie erhält, \(y'=\psi_1^{(\varrho)}\), ..., \(y^{(t)}=\psi_t^{(\varrho)}\), eine \(m\)- gliedrige Gruppe bilden, ,,die Fundamentalgruppe'' der Normaldifferentialgleichung. Dies führt darauf, Differentialgleichungen mit Fundamentalgruppe überhaupt in Betracht zu ziehen. Es wird angenommen, dass das allgemeine Integral \(Y\) der vorgelegten Differentialgleichung sich durch ein einziges bestimmtes Formelsystem: \[ Y=\varphi (y_1,\dots,y_p,y_1',\dots,y_p^{(l)},\alpha_1,\dots,\alpha_m) \] darstellen lasse, und dass \(\varphi\) auch ein Integral giebt, wenn \(y_1\), ..., \(y_p\) durch \(p\) willkürliche andere ersetzt werden. Die durch Erweiterung gebildete neue Transformation \(Y'=\varphi_1\), ..., \(Y^{(t)}=\varphi_t\) führt dann zu einer continuirlichen Gruppe in den Veränderlichen \(Y_k\), \(Y_k'\), ..., \(Y_k^{(t)}\) und \(y_k\), \(y_k'\), ..., \(y_k^{(t)}\) mit den Parametern \(\alpha_1^k\), \(\alpha_2^k\), ..., \(\alpha_m^{(k)}\) \((k=1,2,\dots,p)\), der Fundamentalgruppe der Differentialgleichung. Auf diese Differentialgleichungen mit Fundamentalgruppe werden die von Picard und Vessiot angestellten Untersuchungen über die Rationalitätsgruppe linearer homogener Differentialgleichungen ausgedehnt. Insbesondere wird der Einfluss der Adjunction einer ,,natürlichen Transcendente'', d. h. einer rationalen Function von \(y_1\), ..., \(y_p\) und deren Ableitungen mit Coefficienten aus \(R_1(x)\), einer eingehenden Betrachtung unterzogen.