Einige Sätze über die asymptotische Darstellung von Integralen linearer Differentialgleichungen. (Q1519602)

In einem früheren Aufsatze des Verfassers in J. für Math. 116 (F. d. M. 27, 253, 1896, JFM 27.0253.03), mit dessen Inhalt die Arbeit von Horn (s. das folgende Referat, JFM 28.0278.01) sich mehrfach berührt, sind für die Integrale der Gleichung \(y''=y(a^2+\varphi(x))\), wo \(a\) reell ist und \(\varphi(x)\) eine reelle Function bedeutet, Ausdrücke gegeben worden, die gelten, wenn \(x\) auf reellem Wege ins Unendliche rückt. Hierbei war angenommen, dass das Integral \(\int_x^\infty \varphi(x)dx\) endlich ist. In der vorliegenden Note werden die fraglichen Ausdrücke für \(y\) abgeleitet, ohne das erwähnte Integral als endlich vorauszusetzen. Auf Grund des gewonnenen Resultats wird dann die asymptotische Darstellung des Integrals der Gleichung \[ y''=y\left(a^2+\frac{a_1}x+\frac{a_2}{x^2}+\cdots\right)\tag{1} \] mit reellen Coefficienten für reelle unendlich grosse Werte von \(x\) abgeleitet, während in der früheren Arbeit eine solche nur für den Fall \(a_1=0\) gegeben ist. Die Darstellung lautet: \[ y=e^{ax}x^{\frac{a_1}{2a}}\left(\alpha_0+\frac{\alpha_1}x+\frac{\alpha_2} {x^2}+\cdots\right),\tag{2} \] wo \(\alpha_0\) eine willkürliche Constante ist, und \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ... eindeutig als Functionen von \(\alpha_0\) dadurch bestimmt sind, dass die Reihe der Gleichung (1) formal genügt. Wenn \(\alpha_0\) festgelegt ist, dann stellt der Ausdruck (2), falls \(\alpha<0\) ist, ein bestimmtes für \(x=\infty\) verschwindendes Integral \(y\) der Gleichung (1) dar, und alle für \(x=\infty\) verschwindenden Integrale unterscheiden sich nur um constante Factoren. Ist dagegen \(a\) positiv, so stellt der Ausdruck (1) alle Integrale asymptotisch dar, die für \(x=\infty\) unendlich gross werden, und deren Verhältnisse zu einander für \(x=\infty\) dem Grenzwerte 1 zustreben.