Ueber das Verhalten der Integrale von Differentialgleichungen bei der Annäherung der Veränderlichen an eine Unbestimmtheitsstelle. (Q1519603)

Die Poincaré'sche asymptotische Darstellung der Integrale einer linearen Differentialgleichung durch die im allgemeinen divergenten Normalreihen wird hier ohne Benutzung der Laplace'schen Transformation, die nur auf lineare Differentialgleichungen mit rationalen Coefficienten anwendbar ist, entwickelt, und zwar zunächst für lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Der Verf. beginnt mit der Untersuchung der Riccati'schen Gleichung \(x^{-k}\frac{dy}{dx}+Ay^2+By+C=0\), wo \(k\) eine positive ganze Zahl oder Null, und in der Umgebung von \(x=\infty\) die Coefficienten durch die Reihen dargestellt werden: \[ A=a_0+\frac{a_1}x+\cdots,\quad B=b_0+\frac{b_1}x+\cdots,\quad C=c_0+\frac{c_1}x+\cdots. \] Sind \(K_0'\), \(K_0''\) die Wurzeln der Gleichung \(a_0K_0^2+b_0K_0+c_0=0\), und ist der reelle Teil von \(a_0(K_0'-K_0'')\) positiv, so wird bewiesen, dass, wenn \(x\) als reelle positive Grösse ins Unendliche geht, jedes Integral der Differentialgleichung durch die Reihe \(F'=K_0'+\frac{K_1'}x+\cdots\) asymptotisch dargestellt wird, mit Ausnahme des einzigen Integrals mit dem Grenzwert \(K_0''\), welches die asymptotische Darstellung \[ F''=K_0''+\frac{K_1''}x+\cdots \] hat. In der Feststellung der Existenz eines und nur eines Integrals mit dem Grenzwert \(K_0''\) liegt eine wesentliche Ergänzung der Poincaré'schen Entwickelungen, durch die nur die Möglichkeit derartiger Integrale bewiesen wird. Daran schliesst sich die asymptotische Darstellung der Integrale, falls \(x\) mit einem beliebigen Argumente ins Unendliche rückt, wobei gewisse \(2k+2\) Argumente, die eine arithmetische Reihe mit der Differenz \(\pi/(k+1)\) bilden, auszuschliessen sind. Mittels der Substitution \(y=x^{-k}\frac{d\log w}{dx}\) wird die lineare Differentialgleichung \[ \frac{d^2w}{dx^2}+x^kP\frac{dw}{dx}+x^{2k}Qw=0\tag{1} \] mit der Unbestimmtheitsstelle \(x=\infty\) vom Range \(k\) (nach der Poincaré'schen Bezeichnung), wo \[ P=p_0+\frac{p_1}x+\cdots,\quad Q=q_0+\frac{q_1}x+\cdots, \] auf die Riccati'sche Gleichung obiger Beschaffenheit zurückgeführt. Auf Grund der vorangehenden Untersuchung erhält man dann die Poincaré'sche asymptotische Darstellung der Integrale von (1) durch Normalreihen in der präcisen Fassung, wie sie aus dem erwähnten Satze über die Riccati'sche Gleichung hervorgeht. Im Falle, dass die Gleichung \(K_0^2+p_0K_0+q_0=0\) gleiche Wurzeln hat, werden die Integrale im allgemeinen durch ,,anormale Reihen'', die nach Potenzen von \(1/x^{\frac12}\) fortgehen, asymptotisch dargestellt.