Abel's theorem and the allied theory including the theory of the theta functions. (Q1519708)

Inhalt und Plan des umfangreichen Werkes von Baker lassen sich am besten kennzeichnen, indem man es mit dem Berichte über die Entwickelung der Theorie der algebraischen Functionen vergleicht, den Brill und Noether der deutschen Mathematiker-Vereinigung erstattet haben (F. d. M. 25, 70-75, 1894, JFM 25.0070.01). Vorher möge nur erwähnt werden, dass diese beiden Unternehmungen unabhängig von einander entstanden sind; wie Baker in der Vorrede bemerkt, waren bereits 16 der 25 Kapitel seines Buches geschrieben, ehe jener Bericht veröffentlicht wurde. Brill und Noether wollen zeigen, wie der Begriff der algebraischen Function einer unabhängigen Veränderlichen sich seit Newton und Leibniz entwickelt hat, und welche Bedeutung ihm in der Geschichte der gesamten Mathematik zukommt; wofür besonders die Integralrechnung (Abel'sche Integrale) und die Geometrie (algebraische Curven) in Betracht kommen. Baker will den gegenwärtigen Status der Theorie der Abel'schen Integrale in einer solchen Form darstellen, dass sein Werk zugleich Lesern, die die Elemente der Riemann'schen und der Weierstrass'schen Functionentheorie kennen, etwa nach dem Buche von Forsyth, als Einleitung in diesen Gegenstand dienen kann. Für ihn kommt von der Litteratur im wesentlichen nur das in Betracht, was seit Abel und Jacobi gearbeitet worden ist, und er legt grossen Wert auf die saubere Durchführung von Beispielen, die zur Erläuterung der allgemeinen Theorie dienen können. Zu diesen formalen Unterschieden treten materielle. Bei Brill und Noether liegt das Hauptgewicht auf den algebraischen Functionen, allerdings mit der Perspective auf die Abel'schen Integrale, deren Untersuchung ja die Veranlassung zu der Entwickelung einer allgemeinen Theorie dieser Functionen gegeben hat. Das Transcendente kommt bei ihnen nur als Mittel zum Zweck in Betracht, und auch die \(\Theta\)-Functionen gelangen im wesentlichen nur bei den Wurzelfunctionen zur Geltung. Dem gegenüber handelt es sich bei Baker um die Abel'schen Integrale mit der Perspective auf die allgemeinen \(\Theta\)-Functionen und auf den Zusammenhang mit den automorphen Functionen; den \(\Theta\)-Functionen ist beinahe die Hälfte des Buches gewidmet. Während ferner in dem ,,Berichte'' Analysis und Geometrie gleichmässig zu ihrem Rechte kommen und nur die Beziehungen zur Arithmetik in den Hintergrund treten, überwiegt bei Baker das functionentheoretische Interesse. Die geometrische Bedeutung der Theorie wird nur gelegentlich gestreift, und selbst das Kapitel VI: ,,Geometrical investigations'' ist fast ausschliesslich analytischer Natur. Ganz besonders tritt diese Einseitigkeit bei dem Abel'schen Theorem hervor, dessen fundamentale Bedeutung für die algebraische Geometrie ganz verschwiegen wird. Die umfangreiche Litteratur des hierdurch begrenzten Gebietes hat Baker mit grosser Sorgfalt und Vollständigkeit gesammelt und für sein Buch verwertet. Zu bedauern ist, dass Wirtinger's schöne ,,Untersuchungen über Thetafunctionen'' nur kurz erwähnt werden (S. 628); sie hätten einen ausführlichen Bericht verdient. Nun zur Anordnung im einzelnen. Während die Kapitel I und II Riemann's transcendente Theorie der rationalen Functionen \(R(x,y)\) geben und in dem Riemann-Roch'schen Satze gipfeln, behandeln die Kapitel III bis VI die algebraische Theorie der \(R(x,y)\), ihre Anwendung auf die Integrale der drei Gattungen und ihre Beziehungen zur Theorie der algebraischen Curven. Hieran schliesst sich die Untersuchung der Primfunctionen und der eindeutigen transcendenten Functionen einer Riemann'schen Fläche (Kapitel VII) und die Herleitung des Abel'schen Theorems (Kapitel VIII). Das Jacobi'sche Umkehrproblem (Kapitel IX) leitet über zur Theorie der \(\Theta\)-Functionen. Zunächst handelt es sich um die Riemann'schen \(\Theta\)-Functionen, deren allgemeine Theorie im Kapitel X entwickelt wird; als Erläuterung dient der hyperelliptische Fall (Kapitel XI). Es folgt die Theorie der Wurzelfunctionen (Kapitel XIII) und die Darlegung des durch die ,,Factorialfunctionen'' vermittelten Zusammenhanges mit den automorphen Formen (Kapitel XII und XIV). Mit den allgemeinen \(\Theta\)-Functionen beschäftigen sich die Kapitel XV bis XVII. Indem der Verfasser sich zu den Riemann'schen Thetafunctionen zurückwendet, betrachtet er zunächst die lineare Transformation der Perioden (Kapitel XVIII) und nach einer Digression über Systeme von Perioden und allgemeine Jacobi'sche Functionen (Kapitel XIX) die Transformation der \(\Theta\)-Functionen (Kapitel XX). Der Rest des Werkes (Kapitel XXI und XXII) bezieht sich auf specielle Untersuchungen: die complexe Multiplication der Thetafunctionen, die Theorie der algebraischen Correspondenzen und die Frage nach der Reduction Abel'scher Integrale auf Integrale niedrigeren Ranges. Erwähnt seien noch die ausführlichen Verzeichnisse am Schlusse des Werkes, in denen die angeführten Autoren, die angewandten Bezeichnungen und die Kunstausdrücke übersichtlich zusammengestellt sind. Solche Verzeichnisse sollten keinem Werke dieser Art fehlen und wie in England so auch auf dem Continente zur löblichen Sitte werden.