On the Weierstrass function. (Q1519722)

Unter der ,,Weierstrass'schen'' Function ist hier das bekannte, von Weierstrass herrührende Beispiel einer stetigen nicht differentiirbaren Function gemeint. Der Verfasser bildet ebenso beschaffene Functionen \(f(x)\), \(f_1(x)\), von welchen überdies noch gilt, dass die Quotienten \(\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}h\), bez. \(\frac{f_1(x+h)-f_1(x-h)}h\) bei jedem Wert von \(x\) für \(\lim h =0\) unendliche Unbestimmtheitsgrenzen haben. Beispiele solcher Functionen werden durch die Reihen \[ f(x)=\sum_{\nu=1}^\infty b^{\nu}\cos(a^\nu x\pi),\quad\text{bez. } f_1(x)=\sum_{\nu=1}^\infty b^{\nu}\sin(a^\nu x\pi) \] vorgestellt, wenn \(a\) eine gerade Zahl, \(b\) eine positive Grösse bezeichnet, für welche die Bedingungen \(b<1\), \(ab^2>5\), bez. \(b<1\), \(ab^2>10\) erfüllt sind.