Memoir on the distributive functional calculus. (Q1519737)

Nach einer historischen Einleitung über die Entwickelung der Rechnung mit Operationen, insbesondere mit Functionaloperationen, giebt der Verf. eine zusammenhängende Darstellung seiner eigenen Untersuchungen auf diesem Gebiete, soweit sie die von ihm sogenannten distributiven Functionaloperationen betreffen. Da der Verf. diese Untersuchungen zum grössten Teil schon früher publicirt hat, und wir über diese betreffenden Publicationen in den letzten Bänden dieses Jahrbuches berichtet haben (vgl. Bd. 26, 431 ff., 1895, JFM 26.0431.01; 27, 312 ff. 1896, JFM 27.0312.02; JFM 27.0313.01; JFM 27.0313.02), so dürfen wir uns darauf beschränken, die hauptsächlichsten Untersuchungen namhaft zu machen, welche in der vorliegenden Abhandlung neu hinzugekommen sind. Als solche sind zu erwähnen die ,,functionelle Interpolation'' und die Differentiation mit beliebigem Index. Die erstere besteht in der Herstellung einer distributiven Operation \(A\), welche eine gegebene Reihe von Functionen \(\alpha_i(i=1,2,3,\dots)\) in eine andere gegebene Reihe von Functionen \(\beta_i(i=1,2,3,\dots)\) überführt, so dass allgemein \(A(\alpha_i)=\beta_i\) wird. Für die gesuchte Operation \(A\) erhält der Verf. Formeln, welche den bekannten Interpolationsformeln von Lagrange und Newton analog sind. Als Differentiation mit dem Index \(s\), wo \(s\) eine beliebige reelle oder complexe Constante bedeutet, definirt der Verf. diejenige Operation \(X\), welche der Gleichung \(DX'=sX\) genügt. Hier bezeichnet \(D\) die gewöhnliche Differentiation und \(X'\) die functionelle Ableitung von \(X\) (vgl. F. d. M. 26, 434, JFM 26.0433.01). Die Discussion dieser Gleichung führt den Verfasser zu der folgenden Definition des ,,\(s^{\text{ten}}\) Differentialquotienten'' einer Function \(\varphi\): \(D^s(\varphi)=e^x \sum\limits_{n=0}^\infty\binom sn\frac{d^n(e^{-x}\varphi)}{dx^n}\), wobei \(\binom sn\) den \(n^{\text{ten}}\) Binomialcoefficienten zur Basis \(s\) bezeichnet.