On a method of expanding some explicit algebraic functions in series. (Q1519757)

Der Verfasser leitet durch logarithmische Differentiation Recursionsformeln für die Differentialquotienten der Function \[ u=[f_1(x)]^{m_1}[f_2(x)]^{m_2}\dots[f_r(x)]^{m_r} \] ab, wobei \(m_1,m_2,\dots,m_r\) beliebige Constanten bezeichnen. Für diese Differentialquotienten ergeben sich hieraus Determinanten-Darstellungen. Beispielsweise betrachtet der Verf. die Fälle \(u=\frac1{f_1(x)}\) und \(u=\sqrt{f_1(x)}\). Wenn \(f_1(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\) gesetzt wird, so findet sich im ersten Falle \(u=\frac1{a_0} + \sum\limits_1^\infty\frac{(-1)^nx^n}{n!a_0^{n+1}}G_n\), wo \(G_n\) die Determinante \[ \begin{vmatrix} 2a_1,&a_0\\ 4a_2,&3a_1,&2a_0\\ 6a_3,&5a_2,&4a_1,&3a_0\\ \hdotsfor5\\ (2n-2)a_{n-1},&&&\hdots&(n-1)a_0\\ na_n,&(n-1)a_{n-1},&&\hdots&a_1 \end{vmatrix} \] bezeichnet. Ein ähnliches Resultat ergiebt sich für den Fall \(u=\sqrt{f_1(x)}\).