New proof of a theorem of Stokes. (Q1519770)

Wird eine Fläche durch eine geschlossene Curve \(C\) begrenzt, so lässt sich diese Curve unter Festhaltung zweier ihrer Punkte \(A\) und \(B\) auf der Fläche stetig so deformiren, dass sie schliesslich übergeht in ein doppelt überdecktes von \(A\) nach \(B\) laufendes Curvenstück: Die Gesamtvariation des Integrales \(\int\limits_C Pdx\), unter \(P\) eine Function der Coordinaten \(x\), \(y\), \(z\) verstanden, wird dabei offenbar gleich dem negativ genommenen Werte dieses Integrales sein, da das Integral den Endwert Null erhält. Andererseits ist diese Gesamtvariation gleich der Summe der infinitesimalen Variationen des Integrales, welche letztere sich leicht durch ein über die Fläche erstrecktes Doppelintegral ausdrücken lässt. Durch Vergleich dieser beiden Ausdrücke für die Gesamtvariation entsteht die Stokes'sche Formel.