On the Bernoullian function. (Q1519802)

Die vorliegende umfangreiche Monographie der von Raabe in die Analysis eingeführten Function \(B_n(x)=\frac{x_n}n - \frac12x^{n-1} + \frac{n- 1}{2!}B_1x^{n-2} - \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}B_2x^{n-4} + \cdots\), wo auf der rechten Seite \(B_\nu\) die \(\nu^{\text{te}}\) Bernoulli'sche Zahl bezeichnet, giebt eine ausführliche Theorie dieser Function mit Ableitung der bekannten Formeln. Die Arbeit zerfällt in zwei Teile, denen später noch ein dritter Teil folgen soll. Als Ausgangsformel dient im ersten Teile die Beziehung: \[ \sin2\pi x + \frac{\sin4\pi x}2 + \frac{\sin6\pi x}3 + \cdots=\pi\left(\frac12-x\right), \] welche zunächst benutzt wird, um verschiedene trigonometrische Reihen, welche eng mit den Bernoulli'schen Functionen zusammenhängen, zu summiren. Dann werden gewisse Exponentialfunctionen, vornehmlich \(\frac{e^{ax}-1}{e^a-1}\) in Reihen (nach \(a\)) entwickelt, in denen die Coefficienten Bernoulli'sche Functionen sind. Aus diesen Entwickelungen ergeben sich zahllose Formeln. Indem dann weiter für das Argument \(x\) die speciellen Werte \(\frac12\), \(\frac14\), \(\frac13\), \(\frac16\) gesetzt werden, bieten sich gewisse Zahlencoefficienten \(E_n\), \(I_n\), \(J_n\), \(H_n\) der Betrachtung dar, ebenso wie gewisse unendliche Reihen, welche aus Potenzen der reciproken ungeraden Zahlen oder der reciproken Primzahlen gebildet sind, zur Entstehung neuer ausgezeichneter Zahlen den Anlass geben. Zwischen allen diesen Zahlen bestehen die mannigfachsten Relationen. Hervorgehoben zu werden verdient, dass die Einführung der Functionen: \[ \begin{aligned} A_{2n}(x) &= B_{2n}(x)+(-1)^{n-1}\frac{B_n}{2n},\\ A_{2n+1}(x) &= B_{2n+1}(x)\end{aligned} \] an Stelle der Bernoulli'schen Functionen viele Vorteile darzubieten scheint, weshalb der Verfasser in dem zweiten Teile die \(A\)-Functionen gegenüber den \(B\)-Functionen bevorzugt. In dem zweiten Teile betrachtet der Verf. die \(V\)- und \(U\)-Functionen, welche durch die Gleichungen \[ \begin{aligned} V_n(x) &= nA_n(x),\\ U_n(x) &= n\left\{A_n(x)-2^nA_n\left(\frac x2\right)\right\}\end{aligned} \] definirt sind, leitet für diese ebenfalls eine grosse Anzahl von Formeln und Beziehungen ab und giebt deren Werte für specielle Werte von \(n\) einerseits und \(x\) andererseits an. Besonders brauchbar erweisen sich diese \(V\)- und \(U\)-Functionen für die symbolische Darstellung, wie an den Resultaten, welche von Blissard und 15 Jahre später von E. Lucas von neuem gefunden worden sind, und an anderen symbolischen Theoremen gezeigt wird. Weitere symbolische Theoreme in Bezug auf die \(V\)- und \(U\)-Functionen sollen in einem dritten Teile dargestellt werden. Die Anwendungen der \(V\)- und \(U\)-Functionen auf bestimmte Integrale sind in einer andern Abhandlung des Verf. schon behandelt worden (Messenger of Mathematics, 26; vergl. das folgende Referat, JFM 28.0377.01).