Ueber eine Formel aus der Theorie der Gammafunction. (Q1519805)

Die von dem Verf. in einer früheren Arbeit ausgeführte Differentiation der Kummer'schen Reihe für \(\log \Gamma(a)\) kann in einfacherer Weise dadurch bewirkt werden, dass man in der für \(0<x<1\), \(0<v<1\) geltenden Relation: \[ \sum_{n=0}^\infty\frac{e^{-2x\pi i(v+n)}}{v+n} = -\log2\pi x + \Gamma'(1) - \frac{\Gamma'(v)}{\Gamma(v)} - \frac{\pi i}2 - \sum_{k=-\infty}^\infty{}' e^{2kv\pi i}\log\frac{x+k}k, \] wo in der Summe rechts \(k=0\) ausgeschlossen ist, \(x=\frac12\) setzt, dann beiderseits mit \(e^{v\pi i}\) multiplicirt und in der resultirenden Gleichung die imaginären Teile einander gleich setzt. Es folgt schliesslich: \[ \sin v\pi\left[\log2\pi-\Gamma'(1)+\frac{\Gamma'(v)}{\Gamma(v)}\right] + \frac{\pi}2\cos v\pi = \sum_{k=}^\infty\log\frac k{k+1}\sin(2k+1)v\pi. \] Bei dem Versuche, durch Integration hieraus die Kummer'sche Reihe abzuleiten, bietet sich leicht eine Verallgemeinerung dar, welche die Differentiation einer ganzen Klasse von trigonometrischen Reihen, bei welchen die gewöhnliche Regel nicht anwendbar ist, auszuführen gestattet.