Ueber eine Relation von Kronecker. (Q1519832)

Setzt man \[ \begin{aligned} \varphi(q,x,y) &= \sum_{\mu,\nu}q^{\frac12\mu\nu}(x^\mu y^\nu-x^{- \mu}y^{-\nu}),\\ \psi(q,x,y) &= \sum_{m,n}(-q)^{m^2+n^2}x^{2m}y^{2n},\end{aligned} \] wo \(\mu\) und \(\nu\) alle positiven ungeraden, \(m\) und \(n\) alle ganzen Zahlen durchlaufen, so besteht nach Kronecker (F. d. M. 13, 363, 1881, JFM 13.0363.01) die Relation: \[ \varphi(q,x,y)\cdot\psi(q,x,y) = \frac12\sum_{\varkappa,\lambda}(- 1)^{\frac{\varkappa-1}2+\frac{\lambda-1}2}\cdot\varkappa q^{\frac14(\varkappa^2+\lambda^2)}x^\lambda y^\lambda, \] wo \(\varkappa\) und \(\lambda\) alle positiven und negativen ungeraden Zahlen durchlaufen. Der Verfasser giebt zunächst einen neuen, recht einfachen Beweis dieser Kronecker'schen Relation und benutzt diese alsdann zur Herleitung zweier zahlentheoretischen Sätze.