Bemerkung über die Bessel'schen Functionen. (Q1519857)

Im ersten Teile der ersten Abhandlung (siehe JFM 28.0408.01) handelt es sich, ebenso wie in den beiden anderen Aufsätzen (siehe auch JFM 28.0408.02), um den Beweis des Satzes, dass zwischen je zwei auf einander folgenden reellen Wurzeln von \(J^n(x)\) (\(n\) reell) genau eine Wurzel von \(J^{n+1}(x)\) liegt. Den einfachsten Beweis giebt Gegenbauer. Aus der Differentialgleichung für \(y=x^{-n}J^n(x)\) folgt, dass, wenn \(\xi\) eine Wurzel von \(y'(x)=0\) ist, \(y''(\xi)\) und \(y(\xi)\) entgegengesetztes Zeichen haben. Sind ferner \(\xi_1\), und \(\xi_2\) zwei auf einander folgende Wurzeln von \(y'(x)=0\) und \(\varepsilon\) und \(\eta\) hinlänglich klein, haben die Ausdrücke \[ \frac{y'(\xi_1+\varepsilon)}{y''(\xi_1+\varepsilon)}\quad\text{und }\quad\frac{y'(\xi_2-\eta)}{y''(\xi_2-\eta)} \] stets entgegengesetztes Zeichen; folglich gilt dasselbe auch von \[ y'(\xi_1+\varepsilon) y(\xi_1+\varepsilon) \quad\text{und}\quad y'(\xi_2-\eta) y(\xi_2-\eta). \] Daher kann \(y(x)\) zwischen \(\xi_1\) und \(\xi_2\) nur eine ungerade Zahl von Wurzeln haben, und nach dem Rolle'schen Theorem ist diese Zahl 1. Nimmt man hinzu, dass \(y'(x)=x^{-n}J^{n+1}(x)\) ist, so ist der Satz bewiesen. Auch kann man denselben leicht auf Functionen ausdehnen, die einer allgemeineren Differentialgleichung zweiter Ordnung genügen. Der in der ersten Arbeit gegebene Beweis stützt sich auf die Lommel'schen Formeln (vergl. Math. Ann. 4; F. d. M. 3, 221, 1871, JFM 03.0221.04) \[ J^{n+1}(x)J^{-n}(x) + J^{-(n+1)}(x)J^n(x) = \frac{2\sin(n+1)\pi}{\pi x}, \] resp. \(Y^n(x)J^{n+1}(x)-Y^{n+1}(x)J^n(x)=\frac1x\), deren zweite für ganzzahlige, die erste für nicht ganzzahlige \(n\) gilt, sowie darauf, dass \(\frac{d\frac{J^{-n}(x)}{J^n(x)}}{dx}\), resp. \(\frac{d\frac{Y^n(x)}{J^n(x)}}{dx}\) constantes Zeichen hat. Hobson benutzt eine schon bei Sonine (Math. Ann. 16, F. d. M. 12, 400, 1880, JFM 12.0400.01) vorkommende Formel für \(\int_\alpha^\beta\frac{J^m(x)J^n(x)}x\,dx\), die er aufs neue ableitet. Aus derselben folgt, dass, wenn \(\alpha\) und \(\beta\) zwei Wurzeln der Gleichung \(x^{-(m+1)}J^{m+1}(x)=0\) sind, \[ (2m+1)\int_\alpha^\beta\frac{J^m(x)J^{m+1}(x)dx}x = \beta(J^m(\beta))^2-\alpha(J^m(\alpha))^2 \] ist, und hieraus lässt sich mittels eines indirecten Beweisverfahrens der Satz erschliessen, wenn man noch beachtet, dass \(x(J^m(x))^2\) für positive Werte von \(2m+1\) mit \(x\) wächst, so lange \(J^m\) und \(J^{m+1}\) entgegengesetzte Zeichen haben, und dass Analoges auch für negative Werte von \(2m+1\) gilt. Weiter leitet Hobson aus der obigen allgemeinen Integralformel noch drei specielle Formeln her, die sich schon bei Heine (Kugelfunctionen, \(2^{\text{te}}\) Aufl., I, 255), resp. bei Schläfli (Math. Ann. 10) finden. Van Vleck zeigt im zweiten Teile seiner Arbeit, dass der obige Satz nur ein specieller Fall eines allgemeineren, für die Riemann'schen \(P\)-Function geltenden Satzes ist. Nennt man zwei \(P\)-Functionen, durch entsprechende Exponenten um ganze Zahlen verschieden sind, verwandt (related) und, falls noch die von Riemann (Gesammelte Werke S. 73, 74) mit \(F\) bezeichnete ganze Function sich auf Constante reducirt, benachbart-verwandt (contiguous), so ergiebt sich aus der Riemann'schen Formel folgender Satz: Haben zwei Zweige solcher benachbart-verwandten \(P\)-Functionen eine gemeinsame Substitutionsgruppe, so wechseln die Wurzeln der einen mit denen der andern ab in jedem der drei Intervalle zwischen den singulären Punkten 0, 1, \(\infty\). --- Durch einen gewissen Grenzübergang folgt daraus der specielle Satz für Bessel'sche Functionen. Ferner kann man mittels des allgemeinen Satzes eine Reihe Sturm'scher Functionen bilden zur Bestimmung der Anzahl der zwischen zwei gegebenen Zahlen liegenden reellen Wurzeln eines bestimmten Zweiges einer \(P\)-Function. Endlich wird noch gezeigt, wie man die ganze Betrachtung auf Riemann'sche \(P\)-Functionen mit mehr als drei Verzweigungspunkten ausdehnen kann.