Sulla riducibilità delle equazioni elettrodinamiche di Helmholtz alla forma hertziana. (Q1520010)

Die Theorie der Elektrodynamik von Helmholtz führt auf die Gleichungen von Hertz, wenn man annimmt, dass die Fernwirkungen sich mit endlicher Geschwindigkeit fortpflanzen. Ist im besonderen das Medium homogen und isotrop, so wird die Fortpflanzungsgeschwindigkeit dargestellt durch \(1/A\sqrt{\varepsilon\mu}\), wo \(1/A\) die Lichtgeschwindigkeit, \(\varepsilon\) und \(\mu\) die Constanten der Dielektricität, bez. der Magnetisirung des Mediums sind. An Stelle des Elementarpotentials \[ \frac{\Omega (\xi ,\eta ,\zeta ,t)}{r}\,,\,r=\sqrt{(x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2} \] im Punkte \((\xi,\eta,\zeta)\) ist der Ausdruck \[ \frac{\Omega (\xi,\eta,\zeta,t-A\sqrt{\varepsilon\mu}r)}{r} = \frac{\bar \Omega}{r} \] zu setzen. Berücksichtigt man nun, dass die Helmholtz'schen Gleichungen (19b) und (3b) seiner Abhandlung: Ueber die Bewegungsgleichungen der Elektricität für ruhende Körper 1) auf dem Coulomb'schen Gesetze beruhen, und setzt man statt der Elementarcomponenten der elektrostatischen Wirkung, nämlich \[ -E\frac{\partial\frac{1}{r}}{\partial x_i}\,dS,\;\text{die anderen } -\frac{\partial\frac{\bar E}{r}}{\partial x_i}\,dS\,, \] 2) auf dem Biot-Savart'schen Gesetze, so dass bei diesem statt der Componenten: \[ A\biggl( v\frac{\partial\frac{1}{r}}{\partial x_3} - w\frac{\partial\frac{1}{r}}{\partial x_2}\biggr) dS \text{ u. s. w.} \] die anderen treten: \[ A\biggl( \frac{\partial\frac{\bar v}{r}}{\partial x_3} - \frac{\partial\frac{\bar w}{r}}{\partial x_2}\biggr)\;\text{u. s. w.,} \] endlich 3) auf dem F. Neumann'schen Potentialgesetze, so dass statt \[ -\frac{A^2}{r}\frac{\partial u}{\partial t}\,\text{u. s. w. die Ausdrücke }-\frac{A^2}{r}\frac{\partial\bar u}{\partial t}\,\text{u. s. w.} \] zu setzen sind, so zeigt der Verf., dass die oben genannten Helmholtz'schen Gleichungen (19b) und (3b) sich direct in die bekannten Hertz'schen (Werke, Bd. II, S. 225) Gleichungen (9a) und (9b) transformiren lassen; aber auch die Grenzgleichungen sind in einander überführbar.