Symmetrische und alternirende Lösungen der Gleichung \(SX=XS'\). (Q1520640)

Siehe auch JFM 27.0082.01. Der Verf. hat früher die cogredienten Transformationen \(U\) (mit Ausschluss gewisser singulärer) untersucht (cf. F. d. M. 21, 126, 1889, JFM 21.0126.01, und den vorangehenden Bericht (JFM 27.0081.02), die eine bilineare Form \(S\) von nicht verschwindender Determinante in sich überführen. Das Problem kam zurück auf die Auflösung des Systems linearer Gleichungen (1) \(SY+S'Y'=0\); die Anzahl \(P\) der linear unabhängigen Lösungen von (1) liefert die Anzahl der Parameter des Problems. Den obigen Transformationen \(U\) wird jetzt eine andere Klasse von Transformationen zugeordnet, die ``adjungirten'', die durch die Gleichung (2) \((U')^{-1}SU=S\) definirt sind, d. h. es sind die Lösungen des Systems (3) \(SY-S'Y'=0\). Die Anzahl \(Q\) der Lösungen von (3) ist wiederum die Anzahl der Parameter. Die allgemeine Bestimmung der Anzahlen \(P\) und \(Q\) scheint schwierig zu sein. Sind aber im besonderen die zu den Wurzeln \(\varrho=\pm 1\) der charakteristischen Function \((S+\varrho S')\) gehörigen Elementarteiler alle einfach, so lassen sich \(P\) und \(Q\) angeben; es wird nämlich \(P+Q=N\), \(P-Q=\nu-\mu\), wo \(N\) die Zahl der mit der``antisymmetrischen'' Form \((S')^{-1}S\) vertauschbaren Formen bezeichnet, \(\mu\) die Anzahl der Wurzeln \(-1\), \(v\) die der Wurzeln \(+1\) der charakteristischen Function. Und zwar sind zu der Bestimmung nur rationale Operationen erforderlich. Aus der Gleichung (1) wird eine andere \(SX+X'S=0\) abgeleitet, für die stets ein vollständiges System von \(N\) Lösungen existirt, welches aus lauter alternirenden und symmetrischen Formen zusammengesetzt ist, die sich auch direct bestimmen lassen. Die beiderlei Anzahlen sind \(P,\, Q\) selbst. Es giebt aber auch ein System von unabhängigen Lösungen von \(SX+X'S=0\), in welchem jede Form das Product einer symmetrischen Form mit einer alternirenden ist, und ein analoger Satz besteht für die der Gleichung (3) correspondirende: \(SX-X'S=0\), nur dass hier gleichartige Formen zu multipliciren sind. Durch die ganze weitere Entwickelung zieht sich stets serselbe Grundgedanke, das Problem auf die Untersuchung von alternirenden und symmetrischen Formen zu reduciren. Die Anzahlen dieser Formen werden in der zweiten Arheit auch für die einfachere Gleichung \(SX=XS'\) bestimmt.