Ueber Gruppencharaktere. (Q1520651)

``Bei dem Beweise des Satzes, dass jede lineare Function einer Variabeln unendlich viele Primzahlen darstellt, wenn ihre Coefficienten teilerfremde ganze Zahlen sind, benutzte Dirichlet zum ersten Male gewisse Systeme von Einheitswurzeln, die auch in der nahe verwandten Frage nach der Anzahl der Idealklassen in einem Kreiskörper sowie bei der Verallgemeinerung jenes Satzes auf quadratische Formen und in den Untersuchungen über deren Einteilung in Geschlechter auftreten. Die charakteristische Eigenschaft dieser Ausdrücke besteht nach Dedekind darin, dass sie von einer variabeln positiven ganzen Zahl \(n\) abhängige Grössen \(\chi (n)\) sind, die nur eine endlicheAnzahl von Werten haben und der Bedingung \(\chi (m) \chi (n) = \chi (mn)\) genügen. Wie er in rein abstracter Form ausführt, lassen sich den Elementen \(A, B, C, \dots \) jeder Abel'schen Gruppe solche Einheitswurzeln \(\chi (A),\chi (B), \chi (C), \dots\) zuordnen, welche die Gleichung \(\chi (A) \chi (B) = \chi (AB)\) befriedigen, und die er nach dem Vorgange von Gauss die `` Charaktere der Gruppe'' nannte. Unter einem Charakter einer quadratischen Form versteht Gauss (Disqu. arithm. Art. 230) eine Relation der durch die Form darstellbaren Zahlen zu den in ihrer Determinante aufgehenden ungeraden Primzahlen \(p\) (oder 4 oder 8). Er drückt jene Beziehung durch die Zeichen \(Rp\) und \(Np\) aus. Diese Symbole ersetzt Dirichlet (J. für Math. 19) durch das Legendre'sche (und Jacobi'sche) Zeichen \((m/p)\), welches nächst der Resolvente von Lagrange wohl das älteste Beispiel der Anwendung von Charakteren commutativer Gruppen darbietet. Der Vorzug dieser Umwandlung besteht darin, dass die Geschlechtscharaktere von Gauss nur Beziehungen, die von Dirichlet aber Zahlen sind, mit denen man rechnen kann. So wird durch die Multiplication dieser charakteristischen Zahlen die der Composition der Geschlechter entsprechende Composition der Charaktere (Art. 246-248) ersetzt. -- Die Anzahl \(h\) der Charaktere einer Abel'schen Gruppe \({\mathfrak H}\) ist der Ordnung der Gruppe gleich. Man kann die \(h\) Charaktere erhalten, in dem man die Elemente von \({\mathfrak H}\) durch eine Basis unabhängiger Elemente darstellt und den Basiselementen beliebige Einheitswurzeln zuordnet, deren Grad ihrer Ordnung gleich ist. Sie lassen sich in mehrfacher Art den Elementen der Gruppe zuordnen und können demnach mit \(\chi_B (A)\) bezeichnet werden. Da das Product zweier Charaktere wieder ein Charakter ist, so bilden sie eine Gruppe, und diese ist mit \({\mathfrak H}\) isomorph. Ihre Beziehungen zu den Untergruppen von \({\mathfrak H}\) sind am ausführlichsten von Weber erörtert (Theorie der Abel'schen Zahlkörper, I \S 3, IV \S 2. u. 3., Acta Math. 8 u. 9).'' Die Lösung einer dem Verf. von Dedekind mitgeteilten Aufgabe veranlasste ihn zu einerVerallgemeinerung des Begriffes der Charaktere auf beliebige endliche Gruppen. Durch die Einführung dieses Begriffes, den er im Folgenden entwickelt, dürfte nach seiner Meinung die Gruppentheorie eine wesentliche Förderung und Bereicherung erfahren. Zwei Elemente \(A\) und \(B\) einer endlichen Gruppe \({\mathfrak H}\) heissen ``conjugirt'' (in Bezug auf \({\mathfrak H}\)), wenn es in \({\mathfrak H}\) ein Element \(T\) giebt, das der Bedingung \(T^{-1} AT=B\) genügt. Sind zwei Elemente einem dritten conjugirt, so sind sie es auch unter einander. Daher kann man die \(h\) Elemente von \({\mathfrak H}\) in ``Klassen conjugirter Elemente'' einteilen, eine Einteilung, von der Verf. mehrfach, besonders in seinem neuen Beweise des Sylow'schen Satzes (J. für Math. 100) vorteilhaft Gebrauch gemacht hat. Das Hauptelement \(E\) bildet für sich eine Klasse, die ``Hauptklasse''. Sind \((\alpha), (\beta), (\gamma)\) irgend drei verschiedene oder gleiche Klassen, und durchläuft \(A\) die \(h_a\) verschiedenen Elemente der \(\alpha ^{\text{ten}}\) Klasse, \(B\) die \(h^\beta\) Elemente der \(\beta^{\text{ten}}\) und \(C\) die \(h_\gamma\) Elemente der \(\gamma^{\text{ten}}\), so soll die Zahl \(h_{\alpha \beta \gamma}\) (die auch Null sein kann) angeben, wie viele der \(h_\alpha h\beta h\gamma\) Elemente \(ABC\) gleich dem Hauptelemente sind, also der Gleichung \(ABC=E\) genügen. Die Entwickelung der Eigenschaften dieser positiven ganzen Zahlen \(h_{\alpha \beta \gamma}\) und ihrer Beziehungen zu den Charakteren bildet den Hauptinhalt der vorliegenden Arbeit. Ein besonderes Interesse gewinnen diese Grössen noch durch ihre merkwürdigen Beziehungen zu der Theorie der aus mehreren Haupteinheiten gebildeten complexen Grössen.