Memoir on the theory of the partition of numbers. Part I. (Q1520762)

Fortsetzung früherer Untersuchungen, über welche in F. d. M. 25, 258, 1893/94, JFM 25.0258.01; JFM 25.0258.02, berichtet ist. Unipartit heisst eine Zahl, wenn sie lauter gleichbenannte Dinge, multipartit von der Ordung \(m,\) wenn sie Dinge von \(m\) verschiedenen Benennungen abzählt. Unter Partition versteht man die Zerlegung einer Zahl in Summanden ohne Rücksicht auf die Reihenfolge, unter Composition dasselbe bei Berücksichtigung der Reihenfolge. Die frühere Abhandlung des Verf. beschäftigte sich mit Compositionen, die vorliegende mit der schwierigeren Frage der Partition von multipartiten Zahlen. Ueber die Partition von unipartiten Zahlen existiren Arbeiten von Sylvester. Den Ausgangspunkt bildet ein Diagramm, welches bei einer bipartiten Zahl aus einem parallelogrammatischen Ausschnitt eines ebenen Gitters besteht. (Bei einer \(m\)-partiten Zahl würde entsprechend ein parallelepipedisches Stück eines \(m\)-dimensionalen Gitters zu benutzen sein.) Die Anzahl der verschiedenen Wege, auf denen man, längs der Stäbe der Gitters fortschreitend, von der einen Ecke des Diagramms zu der gegenüberliegenden gelangen kann, giebt die Anzahl der Compositionen der bipartiten Zahl. Von hier aus schliesst man auf die Anzahl der Partitionen gewisser unipartiter Zahlen. Entsprechend besteht ein Zusammenhang zwischen den Compositionen der \((m+1)\)-partiten Zahlen und den Partitionen gewisser \(m\)-partiter. Den Schluss bildet die Berechnung erzeugender Functionen, deren Coefficienten bezw. gleich den Anzahlen der Partitionen sind.