On Wilson's theorem (Q1520784)

Sind \(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_{p-2}, (p-1)!\) die elementaren symmetrischen Functionen der Zahlen \(1,2,\dots,p-1,\) so folgt aus: \((1+1)(1+2)\dots(1+(p-1))\equiv 1+\sigma_1+\sigma_2+\cdots+\sigma_{p-2}+(p-1)!\equiv 0\bmod p\) der Wilson'sche Satz, falls für Primzahlen \(p\) alle \(\sigma_1,\dots,\sigma_{p-2}\) durch \(p\) teilbar sind. Letzteres beweist der Verf. unter Vermeidung des Fermat'schen Satzes aus einer zwischen Binomialcoefficienten bestehenden Relation mit Hülfe der schon von Legendre für \(n=p-1\) gebrauchten Gleichung: \(n!=n^n- {n\choose 1} (n-1)^n+{n \choose 2}(n-2)^n-{n \choose 3}(n-3)^n+\cdot\cdot\).