Sur quelques récents résultats dans la théorie des surfaces algébriques. (Q1520922)

Die Geometrie auf einer algebraischen Fläche wurde durch eine Bemerkung von Clebsch (C. R. 67; vgl. F. d. M. 1, 234, 1868, JFM 01.0234.02) geschaffen und wurde sogleich durch Noether (Math. Ann. 2 und 8; vgl. F. d. M. 2, 619, 1869, JFM 02.0619.01) meisterlich entwickelt; nachdem wurde sie mit Erfolg besonders in Frankreich und Italien ausgebildet. In Frankreich betrachtete Picard neben den immer endlichen Doppelintegralen von algebraischen Differentialen, welche Doppelintegrale sich in den oben angeführten Noether'schen Abhandlungen befinden, gewisse höchst merkwürdige totale Differentiale (Journ. de Math. (4) 1 und 5; vgl. F. d. M. 17, 332, 1885, JFM 17.0332.03, und 21, 775, 1889, JFM 21.0775.01),und in diesen Betrachtungen folgten ihm Poincaré (C. R. 99; vgl. F. d. M. 16, 295, 1884, JFM 16.0295.01) und Humbert (Journ. de Math. (4) 9 und 10, vgl. F. d. M. 25, 1217 ff., 1893/94, JFM 25.1217.02; JFM 25.1220.01). In Italien zog man die geometrischen Methoden vor und benutzte die schon fertigen Untersuchungen über die algebraischen Curven und über die linearen Curvensysteme. Die auf diese Weise erhaltenen Resultate, welche man meistens Castelnuovo und Enriques verdankt, haben einen solchen Wert, dass ein competenter Beurteiler (Picard) schrieb, dass sie ``ont renouvelé toute une partie de la théorie des surfaces''. Diese Resultate wurden in verschiedenen Zeitschriften und akademischen Sammlungen veröffentlicht, und die bezüglichen Arbeiten (unter denen die wichtigsten etwa diejenigen sind, auf welche sich die vier vorangehenden Referate beziehen (JFM 27.0518.02; JFM 27.0522.01; JFM 27.0523.01; JFM 27.0523.02; JFM 27.0523.03) wurden ihrer Zeit analysirt. Da die in Rede stehende Arbeit eine Uebersicht der Ergebnisse der vorigen (siehe JFM 27.0523.03) liefert, so kann unser gegenwärtiger Bericht kürzer als gewöhnlich sein. Es mag nur bemerkt werden, dass die Verfasser, um ihre älteren Forschungen zu coordiniren und auch die Lücken in ihrer Gesamtheit klar zu legen, nur die Resultate ohne Beweise angeführt haben, dass sie aber durch exacte Citate dem Leser die Mittel geben, die Beweise zu finden. Um die Menge und Verteilung der behandelten Materie zu bezeichnen, diene zum Schlusse die folgende Inhaltsübersicht der sieben Kapitel, aus denen die Arbeit besteht: I. Birationale Transformationen. Geschlecht einer Curve und einer Fläche nach Clebsch und Noether. II. Lineare Reihen von Punktgruppen einer Curve. Lineare Curvensysteme auf einer Fläche. III. Adjungirte Curven einer ebenen Curve. Subadjungirte Flächen einer Fläche des gewöhnlichen Raumes. IV. Adjungirtes System zu einem gegebenen. V. Invarianten einer Fläche gegen birationale Transformationen. VI. Specielle und nicht-specielle lineare Systeme. Erweiterung des Riemann-Roch'schen Satzes auf algebraische Flächen. VII. Ueber die rationalen Flächen und die Doppelebenen.