Die Existenzbedingungen eines kinetischen Potentiales. (Q1521089)

In seiner Abhandlung ``Ueber die physikalische Bedeutung des Princips der kleinsten Wirkung'' (Journ. für Math. 100, 137 und 213, cf. F. d. M. 18, 941, 1886, JFM 18.0941.01) hat Helmholtz beiläufig, doch ohne Beweis, angegeben, welche Bedingungen die Lagrange'schen Ausdrücke der bewegenden Kräfte \(P_1, P_2, \dots, P_n\) eines Systems materieller Punkte mit den unabhängigen Bestimmungsstücken \(p_1, p_2, \dots, p_n\) erfüllen müssen, damit für die Bewegung jenes Systems ein kinetisches Potential \(H\) existirt. Für diese Helmholtz'sche Bemerkung wird in der vorliegenden Arbeit ein kurzer und directer Beweis gegeben, der unabhängig davon ist, ob in den \(P_\lambda\) die Zeit selbst auftritt oder nicht. Den Ausgangspunkt bildet das Princip, durch welches Jacobi gelehrt hat, die partiellen Ableitungen von vollständigen Differentialquotienten durch blosse Variationen zu berechnen; d. h. es werden die Gleichungen angewandt, die sich daraus ergeben, dass, wenn \(V\) irgend eine Function von \(t\), von den \(p\) und ihren ersten Differentialquotienten nach \(t\) ist, \(\delta\,\frac {dV}{dt} = \frac {d\delta V}{dt}\) ist. Die zu beantwortende Frage lässt sich so formuliren: Welche Bedingungen müssen \(n\) gegebene Functionen \(P_1, \dots, P_n\) der Variabeln \(p_1, \dots, p_n\), sowie ihrer ersten und zweiten Differentialquotienten nach \(t\) und eventuell auch nach der unabhängigen Variable \(t\) selbst erfüllen, damit eine Funktion \(H\) von \(t\), \(p_1, \dots, p_n\), \(p_1', \dots, p_n'\) existire, welche die \(n\) Gleichungen (1) \(- \frac {\partial h}{\partial p_i} + \frac {d}{dt} (\frac {\partial H}{\partial p_i'}) = p_i\) identisch befriedigt. Indem der Verf. die Gleichungen (1) durch die Substitutionen \(\frac {\partial H}{\partial p_i'} = \psi_i\) auf \(2n\) andere zurückführt, auf diese das Jacobi'sche Princip anwendet und die Integrabilitätsbedingungen benutzt, findet er, in Uebereinstimmung mit Helmholtz, dass die \(P_1, \dots, P_n\) solche in den \(p^{\prime\prime}\) lineare Functionen sein müssen, zwischen denen die \(n(2n - 1)\) Relationen identisch bestehen: \[ \text{(a)}\quad \frac {\partial P_i}{\partial p_k^{\prime\prime}} = \frac {\partial P_k}{\partial p_i^{\prime\prime}}\,, \quad \text{(b)}\quad \frac {\partial P_i}{\partial p_k'} + \frac {\partial P_k}{\partial p_i'} = \frac {d}{dt} \left(\frac {\partial P_i}{\partial p_k^{\prime\prime}} + \frac {\partial P_k}{\partial p_i^{\prime\prime}}\right)\,, \] \[ \text{(c)} \quad \frac {\partial P_i}{\partial p_k} - \frac {\partial P_k}{\partial p_i} = \tfrac 12\, \frac {d}{dt} \left(\frac {\partial P_i}{\partial p_k'} - \frac {\partial P_k}{\partial p_i'}\right)\,. \] Es handelt sich weiter darum, zu zeigen, dass diese notwendigen Bedingungen auch hinreichend sind. Dazu ist erforderlich, dass sich, so oft die Bedingungen (a), (b), (c) erfüllt sind, die \(n\) Functionen \(\psi_i\) so bestimmen lassen, dass die \(\frac 12 \,n(3n - 1)\) Gleichungen \[ \text{(d)}\quad \frac {\partial \psi_i}{\partial p_k'} = \frac {\partial P_k}{\partial p_i^{\prime\prime}}\,,\quad \text{(e)}\quad \frac {\partial\psi_i}{\partial p_k} - \frac {\partial\psi_k}{\partial p_i} = \tfrac 12 \left(\frac {\partial P_i}{\partial p_k'} - \frac {\partial P_k}{\partial p_i'}\right) \] identisch befriedigt werden. Dass dies der Fall ist, ergiebt sich folgendermassen. Aus (d) folgt, dass die Functionen \(\psi\) die Form haben: \[ \psi_\lambda = \chi_\lambda (t, p_1, \dots, p_n, p_1', \dots, p_n') + \omega_\lambda (t, p_1, \dots, p_n)\,, \] wo \(\chi_\lambda\) sich durch blosse Quadraturen bestimmen lässt, während \(\omega_\lambda\) eine willkürliche Function ist. Weiter lässt sich zeigen, dass man mittels (e) alle Functionen \(\omega\) bis auf eine, die willkürlich bleibt, bestimmen kann. Uebrigens sind die allgemeinsten Werte der Functionen \(\omega_\lambda\) von der Form \(\omega_\lambda = u_\lambda + \frac {\partial \varPhi}{\partial p_\lambda}\), falls die \(u_\lambda\) irgend ein bestimmtes System von Functionen \(\omega_\lambda\) bilden, während \(\varPhi\) für jedes \(\lambda\) ein und dieselbe willkürliche Function von \(t\) und \(p_1, \dots, p_n\) ist. Daraus folgt, dass der allgemeinste Wert von \(H\) die Form hat \(H = H_1 + \frac {d\varPhi}{dt}\), falls \(H = H_1\) irgend eine bestimmte Lösung, \(\varPhi\) wieder eine willkürliche Function ist. Mittels der benutzten Methode wird man, wie der Verf. bemerkt, auch die von Königsberger in seiner Arbeit ``Ueber die Principien der Mechanik'' (s. S. 572 (JFM 27.0572.02)) angegebene Ausdehnung des Helmholtz'schen Satzes auf den Fall, dass die \(P\) auch höhere Differentialquotienten der \(p\) nach \(t\) enthalten, mit einem Minimum von Rechnung ableiten können.