Sugli integrali primi quadratici delle equazioni della meccanica. (Q1521109)

Unter den mechanischen Problemen, deren Gleichungen man vermittelst der Hamilton-Jacobi'schen Methode integriren kann, verdienen diejenigen besonders erwähnt zu werden, welche Stäckel in C. R. 116, 485-487, 1893 (siehe JFM 25.1377.01) bekannt gegeben hat, und welche die von Liouville im Journ. de Math. (1) 11, 12 betrachteten Fälle der Bewegung umfassen. Diese Probleme, für welche der Ausdruck der lebendigen Kraft auf eine orthogonale quadratische Form reducirt vorausgesetzt wird, sind auch dadurch bemerkenswert, dass sie ausser den Integrale der lebendigen Kraft noch \(n-1\) andere, in den Geschwindigkeitscomponenten quadratische orthogonale Integrale besitzen, wenn \(n\) die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems ist. Da diese Eigenschaft von Liouville und von Stäckel nur beiläufig bemerkt ist, und da man nicht weiss, ob dieselbe den von ihnen erforschten Fällen allein zukommt, oder mit anderen gemeinsam ist, so hat der Verf. die directe Untersuchung derjenigen Probleme unternommen, welche ausser dem Integrale der lebendigen Kraft andere quadratische orthogonale Integrale in der Voraussetzung zulassen, nach welcher der Ausdruck der lebendigen Kraft auf eine orthogonale Form reducirbar ist. Für \(n=3\) ist die Lösung der Frage vom Verf. vollständig durchgeführt. Für ein beliebiges \(n\) hat er ein Theorem bewiesen, welches dem von Stäckel betrachteten Falle der Bewegung andere \(n-2\) Fälle beizugesellen gestattet, für welche \(n-2, n-3, \dots, 3, 2, 1\) quadratische orthogonale Integrale vorhanden sind ausser demjenigen der lebendigen Kraft. Damit hat man eine besondere Klassifizierung der Probleme der Mechanik je nach der Anzahl der quadratischen orthogonalen Integrale, welche sie zulassen. -- Stäckel hat durch eine Note in Annali di Mat. (2) 25, 55-60 (1897) gezeigt, dass seine Note: ``Sur l'intégration de l'équation différentielle de Hamilton'' in C. R. 121, 489-492, 1895 (F. d. M. 26, 822, 1895, JFM 26.0822.01) auch die hier charakterisirten Probleme umfasst.