On some general formuale for the potentials of ellipsoids, shells, and disks. (Q1521259)

Das Problem der Anziehung der Ellipsoide wird hier dahin verallgemeinert, dass in einem \((n + 1)\)-dimensionalen Raume das von der ``elliptischen Scheibe'' \[ \frac {\xi^2_1}{a^2_1} + \frac {\xi^2_2}{a^2_2} + \cdots + \frac {\xi^2_n}{a^2_n} \leqq 1 \] auf den Punkt \(x_1, x_2, \dots, x_n\), \(h\) ausgeübte Potential gesucht wird unter der Annahme, dass die Kraft der \((m + 1)\)-ten Potenz der Entfernung umgekehrt proportional und zugleich die Dichtigkeit \[ \varrho = \left\{1 - \frac {\xi^2_1}{a^2_1} - \cdots - \frac {\xi^2_n}{a^2_n}\right\}^{\lambda-1} F\left( \frac {\xi_1}{a_1}\,, \frac {\xi_2}{a_2}\,, \dots, \frac{\xi_n}{a_n}\right) \] ist, unter \(F\) eine Function verstanden, die für alle Punkte innerhalb der Scheibe in eine nach ganzen positiven Potenzen von \(\xi_1, \dots, \xi_n\) fortschreitende convergente Reihe entwickelt werden kann. Gelöst wird die Aufgabe mittelst der Dirichlet'schen Methode des discontinuirlichen Factors, und zwar wird als Factor das Integral \[ \int^{+\infty}_{-\infty} \;\frac {e^{c(q+iz)}}{(q + iz)^\lambda} \;dz\,, \quad c = 1 - \sum \,\frac {\xi^2_i}{a^2_i}\,, \] benutzt, dessen Wert für negative \(c\) verschwindet, für positive \(c\) aber \(= 2\pi c^{\lambda -1}: \varGamma (\lambda)\) ist (cf. Meyer, Vorles. über bestimmte Integrale, S. 195, 196). Dabei wird eine symbolische Darstellung der Function \(F\) in Form einer Exponentialfunction benutzt. Das Resultat ergiebt sich in Form einer unendlichen Reihe von einfachen Integralen. Das Potential eines vollen Ellipsoids im Raume von \(n\) Dimensionen folgt daraus, wenn man \(h = 0\) setzt. Ferner wird auch der Fall behandelt, dass die anziehende Masse von zwei ähnlichen und ähnlich liegenden elliptischen Scheiben begrenzt wird. Es werden die in Bezug auf \(m\) möglichen verschiedenen Fälle discutirt, resp. die zuerst für \(m\) nötigen Beschränkungen fortgeschafft. Auch der Fall constanter Dichtigkeit findet seine Erledigung. Die Endresultate sind zu umfangreich, als dass sie hier wiedergegeben werden könnten. Bemerkt mag noch werden, dass mehrere der früher von Cayley (cf. F. d. M. 8, 631, 1876, JFM 08.0631.04) und Dyson (F. d. M. 23, 1000, 1891, JFM 03.1000.01) gefundenen Formeln in denen der vorliegenden Arbeit als specielle Fälle enthalten sind. Einige der Resultate des Verf. sind auf anderem Wege von Routh abgeleitet (F. d. M. 26, 899, 1895, JFM 26.0899.01).