Remarks on functions considered by Dirichlet in his habilitation thesis in Breslau (Q1521708)

Fortsetzung der Note ``Ueber einige specielle zahlentheoretische Functionen'', über welche im vorangehenden Referate (JFM 27.0149.02) berichtet ist. Die durch die Recursionsformel \(f(n)=\alpha f(n-1)+\beta f(n-2)\) mit teilerfremden ganzen Zahlen \(\alpha\), \(\beta\) und den Anfangsbedingungen \(f(1)=1\), \(f(2)=\alpha\) definirte Function genügt den Bedingungen a) \(\dots\) d); für diese Function besteht demnach das 1. c. aufgestellte Theorem. Für \(\alpha=2x\), \(\beta=b-x^2\) ordnet sich die von Dirichlet untersuchte Function: \[ f(n)=\frac{(x+\sqrt b)^n-(x-\sqrt b)^n}{2\sqrt b} \] ein. Das von Lucas vermittelst des \(k^{\text{ten}}\) Gliedes \(f(k)\) der Lamé'schen Reihe aufgestellte Primzahlkriterium bleibt auch für die hier definirten allgemeineren Functionen \(f(k)\) gültig.