On the divisors of the natural series of numbers (Q1521711)

Es wird hier eine Reihe arithmetischer Theoreme aufgestellt, in denen die Function \(E(x)=[x],\) welche die grösste, die Zahl \(x\) nicht übertreffende ganze Zahl darstellt, die Hauptrolle spielt. Der Entwickelung liegen drei einander ähnliche Identitäten zu Grunde, welche durch die erste charakterisirt sein mögen: \[ \sum_{x=1}^af\left(\left[\frac{{\varPhi}(x)} {x}\right],x\right)-\sum_{x=1}^af(0,x)=\sum_m[f (\delta_m',\delta_m)-f(\delta_m'-1,\delta_m)] \] . Hier ist \(f(\alpha,\beta\) eine beliebige eindeutige Function, \({\varPhi}(x)\) bedeutet eine für alle vorkommenden Werte \(x\) mit \(x\) wachsende eindeutige positive Function, deren inverse Function \(\varphi(y)\) heisse; \(a\) ist irgend eine positive ganze Zahl und \(\delta_m\), \(\delta_m'\) sind zwei complementäre positive Teiler der ganzen Zahl \(m\). Links ist über alle ganze Zahlen \(x\) von 1 bis zu \(a\) zu summiren, rechts über alle Teiler \(\delta_m\) aller ganzen positiven Zahlen \(m\), welche \(\varphi(m) \overset{=}< \delta_m \overset{=}< a\) befriedigen; wegen der Eigenschaft von \(\varphi(y),\) mit \(y\) zu wachsen, steht rechts auch nur eine endlich-gliedrige Summe. Die arithmetischen Sätze folgen durch Einsetzung besonderer Zahlen \(a\) und der Auswahl specieller Functionen \(f\) und \({\varPhi}\), sowie durch Combination der so entspringenden Formeln. Als charakteristisches Beispiel gelte: Die Anzahl aller mod.\,\(s\) mit \(r\) congruenten Teiler der Zahlen 1 bis \(n\) ist gleich der Anzahl der Zahlen \([n/1], [n/2], \dots, [n/n],\) die mod.\,\(s\) einen der Reste \(r,r+1,\dots,s-1\) haben, vermehrt um die Anzahl aller Teiler der Zahlen von 1 bis \([n/s]\).