Various arithmetical formulas (Q1521731)

Es werden die beiden folgenden Formeln bewiesen: \[ \begin{aligned} (1)\qquad \sum_\sigma\left[\psi\left(m-\sigma a,\tfrac{\sigma}{r}\right) \right.&\left. +\psi(m-\sigma a,ra)\right] =\sum_\sigma\left[\psi\left(m-\sigma a, \tfrac{\sigma}{s}\right)\right.\\ & \left. +\psi(m-\sigma a,sa)\right],\end{aligned} \] \[ (2)\qquad \sum_\sigma\psi\left(m-\sigma a, \frac{\sigma}{r}\right)=\sum_\sigma\chi(m-\sigma a,ra). \] Hier bedeutet \(\psi(p,q)\) die Anzahl der Teiler der positiven ganzen Zahl \(p\), welche die positive Grösse \(q\) übertreffen, und \(\chi(p,q)\) die Anzahl derjenigen Teiler von \(p\), welche \(\leqq q\) sind. Ferner sind \(a,m,r,s\) irgend welche ganze positive Zahlen, während der Summationsbuchstabe \(\sigma\) in (1) alle ganze Zahlen durchlaufen soll, die \(> ars\) sind, in der zweiten Formel aber alle nicht negativen ganzen Zahlen, die \(\frac{m-1}{a}\) nicht übertreffen. Der Beweis beruht auf einer für die Function \(E(x)\) bestehenden Identität, unter \(E(x)\) die grösste, die Zahl \(x\) nicht übertreffende ganze Zahl verstanden. Der Uebergang zu den Teileranzahlen wird durch den Umstand gewonnen, dass die Differenz \(E\left(\frac{n}{t}\right)- E\left(\frac{n-1}{t}\right)\) offenbar 1 oder 0 bedeutet, je nachdem \(t\) in \(n\) aufgeht oder nicht. .