Contributions to the theory of abelian groups and their application to number theory (Q1521735)

Es wird hier eine ausführliche Darstellung der Theorie der Abel'schen Gruppen dargeboten, wobei auch die seit lange bekannten Grundsätze dieser Theorie wieder mitbehandelt werden. Bei den Beweisen wird oft wiederholt Gebrauch gemacht von einer ``Methode des Ausscheidens und Hinzufügens'', welche der im Altertume unter dem Namen ``Sieb des Eratosthenes'' zu Gewinnung von Primzahlen benutzten Methode nachgebildet ist, und welche übrigens bei der Aufgabe zur Geltung kommt, aus einem System \(T\) von Elementen diejenigen speciellen Elemente auszusondern, welche gewissen Untersystemen \(T_1,T_2,\dots\) nicht angehören. Der Hauptteil der Arbeit behandelt zunächst die Abel'schen Gruppen, deren Grad (Ordnung) eine Primzahlpotenz \(p^\pi\) ist. Es wird vor allem die Existenz einer Basis \(A_1,\dots,A_s\) der Gruppe nachgewiesen, in welcher sich jedes Element derselben in der Gestalt: \[ A_1^{k_1}.A_2^{k_2} \dots A_s^{k_s}\quad \left(\begin{aligned} k_i=0, & 1,\dots, (p^{a_i}-1)\\ i=1, & 2,\dots, s\end{aligned} \right) \] nur auf eine Weise darstellen lässt; dabei bedeutet \(p^{\alpha_i}\) den Grad von \(A_i\). Reduciren sich die Zahlen \(\alpha_i\) auf \(r\) verschiedene \(\alpha_1>\alpha_2>\cdots>\alpha_r\) und kommt \(\alpha_1\) \(n_1\)-mal, \(\alpha_2\), \(n_2\)-mal, \(\dots\) vor, so giebt es genau: \[ \prod_{j=1}^ {j=r}\;\frac{p^{n_j(2(n_1+\cdots+n_j)-n_j)\alpha_j}\cdot \left(1-\frac{1} {p^{n_j}}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{p}\right)}{n_j!} \] verschiedene Basissysteme der Gruppe. Die Betrachtung der Untergruppen wird demnächst soweit gefördert, dass die Anzahl aller Untergruppen angegeben wird, für welche vom Basissystem Anzahl und Grad der Elemente gegeben sind. Die betreffende Anzahl ist etwas umständlich auszusprechen. Specielle Folgerungen werden betreffs der regulären (cyklischen) Untergruppen gezogen; insbesondere enthält eine reguläre Gruppe des Grades \(p^\pi\) nur eine Untergruppe vom Grade \(p^\beta\) \((\beta<\pi),\) welche wieder regulär ist. Nun folgt die Untersuchung beliebiger Abel'schen Gruppen, wobei die Frage nach der Anzahl aller Elemente eines gegebenen Grades \(\delta\) wichtig wird. Diese Anzahl drückt sich in nicht ganz einfacher Art durch die Primfactoren von \(\delta\) und die Gradzahlen \(n_1,n_2,\dots,n_s\) der Elemente eines Basissystems aus. Speciell folgt, dass es dann, und nur dann, Elemente des Grades \(\delta\) giebt, wenn \(\delta\) im kleinsten gemeinsamen Vielfachen von \(n_1,n_2,\dots, n_s\) aufgeht. Auch folgender Satz sei erwähnt: Multiplicirt man alle der Gruppe angehörenden Elemente eines Grades \(\delta>2\), so ergiebt sich das Element 1. Eine bemerkenswerte Art der Definition von Untergruppen ist die folgende: Es sei \(A_1,\dots,A_k\) ein der Gruppe entnommenes Elementensystem. Ein Element \(M\), für welches \(MA_1,MA_2,\dots,MA_k\) bis auf die Reihenfolge gleich \(A_1,\dots,A_k\) sind, heisst ein ``Multiplicator'' jenes Systems. Diese Multiplicatoren bilden offenbar insgesamt eine Untergruppe, die ``Multiplicatorengruppe des Systems \(A_1,\dots,A_k\)''. Vom Grade derselben wird gezeigt, dass er \(k\) teilt. Es wird auch noch die Anzahl aller in einer regulären Gruppe \(n^{\text{ten}}\) Grades enthaltenen Elementensysteme angegeben, deren Multiplicatorengruppe einen gegebenen Grad \(n/\delta\) besitzt. Combinirt man unter der Voraussetzung einer von 1 verschiedenen Multiplicatorengruppe die Elemente \(A_1,\dots,A_k\) ohne Wiederholung zur \(\delta^{\text{ten}}\) Klasse, so erzeugen diese Combinationen ein System \({\mathfrak C}_\delta\) von Elementen der Gruppe. In diesem System möge ein beliebiges Element \(S\) der Gruppe \({\mathfrak C}_\delta\) \((S)\)-mal vorkommen. Diese letztere Anzahl, zu welcher der Verf. auch bei Untersuchungen über wurzellose Congruenzen geführt wurde, ist hier eingehend untersucht. Der letzte Abschnitt bringt Anwendungen auf die elementareren in der Zahlentheorie vorkommenden Abel'schen Gruppe. Das volle Restsystem bezüglich eines Zahlmoduls \(m\) bildet bei Addition der Elemente eine Abel'sche Gruppe, ebenso das vollständige mit \(m\) teilerfremde Restsystem. Ein drittes Beispiel wird von den \(\delta^{\text{ten}}\) Potenzresten mod.\,\(m\) geliefert.