On a property of the solution of the Pellian equation \(x^2 Ay^2=\pm 1\). (Q1521746)

Der Verf. macht die Annahme, dass die Gleichung von Pell \(x^2-Ay^2=-1\) eine Lösung in ganzen Zahlen \(x=a\), \(y=b\) hat, und dass diese Zahlen \(x=a\), \(y=b\) die kleinsten positiven Zahlen sind, welche die Gleichung befriedigen. Bekanntlich folgen dann alle anderen Lösungen \(x_{2n+1},y_{2n+1}\) der Aufgabe aus der Gleichung \(x_{2n+1}+y_{2n+1}\sqrt A=(a+b\sqrt A)^{2n+1}\), indem die rationalen und irrationalen Glieder auf beiden Seiten der Gleichung gleichgesetzt werden. Aehnlich werden die Lösungen der Gleichung \(x^2-Ay^2=1\) dann mittels der Gleichung \(x_{2n}+y_{2n}\sqrt A=(a+b\sqrt A)^{2n}\) bestimmt. Es wird jetzt der folgende Satz bewiesen: \[ \text{arc\;tg}\;\frac{1}{x_{2n-1}}-\text{arc\;tg}\;\frac{1}{x_{2n+1}}=2\text{arc\;tg}\;\frac{a}{x_{2n}}, \] \[ \text{arc\;tg}\;\frac{1}{x_{2n-1}}+\text{arc\;tg}\;\frac{1}{x_{2n+1}}= 2\text{arc\;tg}\;\frac{b}{x_{2n}}\,. \] Es werden verschiedene Anwendungen dieses Satzes aufgeführt, endlich wird aus dem gefundenen Satze gefolgert: \(x=a\), \(y=b\) seien die kleinsten Lösungen der Pell'schen Gleichung \(x^2-Ay^2=-1\), und \(x_1,x_2,\dots,x_n\); \(y_1,y_2,\dots,y_n,\dots\) die successiven ganzen positiven Lösungen der Gleichung \(x^2-Ay^2=-1\). Dann hat man: \[ \tfrac{1}{2}\text{arc\,tg}\;\tfrac{1}{a}=\text{arc\,tg}\;\frac{a}{x_1}+ \text{arc\,tg}\;\frac{a}{x_2}+\text{arc\,tg}\;\frac{a}{x_3}+\cdots, \] \[ \tfrac{1}{2}\;\text{arc\,tg}\;\tfrac{1}{a}=\text{arc\,tg}\;\frac{b}{y_1}-\text{arc\,tg}\;\frac{b}{y_2}+\text{arc\,tg}\;\frac{b}{y_3}-\cdots \] .