On integer solutions \(x_1,\dots,x_n,\) \(k_1,\dots,k_n,\) \(k\) of the equation \(x_1\text{arctg\,}\frac{1}{k_1}+x_2\text{arctg}\,\frac{1}{k_2}+ \cdots+x_n\text{arctg}\,\frac{1}{k_n}=k\cdot\frac{\pi}{4}\). (Q1521747)

In der aus der Ueberschrift ersichtlichen Gleichung denke man unter \(x_1,\dots, x_n\) gegebene positive ganze Zahlen und unter \(k\) entweder 0 oder 1. Alsdann wird folgender Satz bewiesen: Damit \(n\) ganze Zahlen \(k_1,\dots,k_n\) die fragliche Gleichung befriedigen, ist das Bestehen der \(n\) Gleichungen: \(1+k_i^2=2^{\delta_i}p_1^{|\nu_{i1}|}.p_2^{|\nu_{i2} |}\dots p_s^{|\nu_{is}|}\) hinreichend und notwendig. Hier sind \(\delta_1,\dots, \delta_n\) mit 0 oder 1 zu identificiren, und zwar so, dass \(x_1\delta_1+\cdots +x_n\delta_n+k\) eine gerade Zahl ist. Die \(p\) sind Primzahlen der Form \((4a+1)\), und die \(\nu\) sind ganze, den \(s\) Gleichungen: \(x_1\nu_{1l}+x_2 \nu_{2l}+\cdots+x_n\nu_{nl}=0\) genügende Zahlen, deren absolute Beträge \(| \nu_{il}|\) sind. Für die Auswahl der Primzahlen \(p\) gilt die Regel, dass \(k_\lambda+k_\mu\) gegen \(p_l\) prim oder durch \(p_l\) teilbar sein soll, je nachdem \(\nu_\lambda\nu_\mu\geqq 0\) oder \(<0\) ist.