A generalization of the theory of continued fractions (Q1521753)

Der Verf. stellt zuerst einige Theoreme auf über einen Algorithmus der Annäherung an eine einzige reelle Grösse mittels rationaler Brüche, welcher als besondere Fälle die gewöhnliche Kettenbruchentwickelung sowohl als auch einige andere, von Hermite früher gegebene Entwickelungen umfasst. Mit diesen Betrachtungen aber scheint der Hauptgegenstand der vorliegenden Arbeit ganz lose zusammenzuhängen. Wenn \(\xi,\eta,\zeta\) drei lineare Formen der drei Variabeln \(x,y,z\) mit reellen Coefficienten sind, \(\varrho,\sigma,\tau\) dagegen positive Parameter, so mögen \(x,y,z\) als rechtwinklige Raumcoordinaten angesehen werden; alsdann möge das von den sechs Ebenen \(\xi=\pm \varrho,\) \(\eta=\pm \sigma,\) \(\zeta=\pm \tau\) begrenzte Parallelepipedon in Beziehung zu den ganzzahligen Raumpunkten betrachtet werden; es soll Grenzparallelepiped heissen, wenn es ausser dem Nullpunkte keinen ganzzahligen Punkt einschliesst, aber auf jeder seiner Seitenflächen (nicht auf den Kanten) mindestens einen solchen Punkt hat. Indem der Verf. die Bedingungen eines solchen Grenzparallelepipedons und die aus der Lage der Grenzpunkte sich ergebenden linearen Substitutionen untersucht, findet er, dass sich alle möglichen Grenzparallelepipede in eine zusammenhängende Kette ordnen lassen, welche durch einen ausführlich wiedergegebenen Algorithmus hergestellt werden kann. Wenn nun \(\alpha,\beta,\gamma\) drei ganze Zahlen eines reellen algebraischen Zahlkörpers dritter Ordnung mit positiver Determinante sind, und wenn \(\xi=\alpha x+\beta y+\gamma z,\) sowie \(\eta,\) \(\zeta\) die beiden zu \(\xi\) conjugirten Formen sind, so kann man den oben genannten Algorithmus zur Bestimmung der Einheiten des kubischen Körpers anwenden, und erhält ein Verfahren, welches analog ist zur Gauss'schen Auflösung der Pell'schen Gleichung mittels der Formation einer Periode von reducirten binären quadratischen Formen.