On a generalization of the continued fraction algorithm (Q1521754)

In diesem Werke werden neue Algorithmen gegeben, welche für die algebraischen Zahlen des kubischen Körpers folgende drei Aufgaben zu lösen ermöglichen: 1) ein System von Fundamentaleinheiten zu finden, 2) zu unterscheiden, ob zwei gegebene Ideale äquivalent sind, und 3) die Anzahl aller Idealklassen zu bestimmen. Da diese Aufgaben für die algebraischen Zahlen des quadratischen Körpers bekanntlich durch die Anwendung des Kettenbruch-Algorithmus gelöst sind, so betrachtet der Verf. den Kettenbruch-Algorithmus auch von demselben Standpunkte wie die von ihm gegebenen Algorithmen. Alle diese Algorithmen stellen die Gesamtheit von Operationen dar, mit deren Hülfe ``successive relative Minima mehrerer simultaner Linearformen'' berechnet werden. Das Werk besteht aus drei Teilen. Im ersten Teile: ``Successive relative Minima des Systems simultaner Linearformen \(\omega=X\lambda+X'\mu\) und \(\omega'=X\lambda'+X'\mu'\) mit ganzen rationalen Veränderlichen'' wird der Begriff ``der relativen Minima dieser Formen'' durch folgende Bestimmung her gestellt. Wenn bei gewissen Werten der Veränderlichen \(X\) und \(X'\) die simultanen Formen \(\omega=X\lambda +X'\mu\) und \(\omega'=X\lambda'+X'\mu'\) solche Werte \(\omega_0\) und \(\omega_0'\) bekommen, dass es unmöglich ist, ganze rationale Zahlen \(t\) und \(t'\) zu finden, welche gleichzeitig den Ungleichheiten \(| t\lambda+t'\mu|<|\omega_0|\) und \(| t\lambda'+t'\mu'| <|\omega_0'|\) \((t\neq 0\), \(t'\neq 0\) gleichzeitig) genügen, so sind die Zahlen \(\omega_0\) und \(\omega_0'\) relative Minima der gegebenen Formen. Die betrachteten Formensysteme werden durch das Symbol \(\left[\begin{smallmatrix}\l & \l\\ \lambda,& \mu\\ \lambda',& \mu' \end{smallmatrix}\right]\) bezeichnet. Die Gesamtheit der Werte \(\omega_0\) und \(\omega_0'\) der gegebenen Formen nennt der Verf. das System (\(\omega,\omega'\)). Die Systeme (\(\omega,\omega'\)) und (\(-\omega,-\omega'\)) werden nicht als verschieden angesehen; man betrachtet also nur solche, in welchen \(\omega>0\) ist. Alle Systeme (\(\omega,\omega'\)) der relativen Minima der gegebenen Formen bilden ``eine Schar \((S)\)''. Jedes System der Schar \((S)\) besitzt ``zwei benachbarte Systeme''. Der Verf. nennt (\(\omega_1,\omega_1'\)) das erste dem Systeme (\(\omega_0,\omega_0'\)) benachbarte System, wenn \(\omega_1<\omega_0\) und bei keinen ganzen \(t\) und \(t'\) die Ungleichheiten \(| t\lambda + t'\mu| <\omega_0\) und \(| t\lambda' + t'\mu'| <| \omega_1'|\) (\(t\) und \(t'\) sind gleichzeitig nicht gleich Null) gleichzeitig möglich sind. Das System (\(\omega_{-1},\omega_{-1}'\)) heisst das zweite, (\(\omega_0,\omega_0'\)) benachbarte System, wenn \(| \omega_{-1}'| < |\omega_0'|\) und die Ungleichheiten \(| t\lambda + t'\mu| < \omega_{-1}\) und \(| t\lambda' + t'\mu'| < | \omega_0'|\) gleichzeitig unmöglich sind. Alle Systeme der Schar \((S)\) kann man in eine unendliche Folge \[ (\omega_{-2},\omega_{-2}'), (\omega_{-1}, \omega_{-1}'),(\omega_0,\omega_0'),(\omega_1,\omega_1'),(\omega_2,\omega_2'), \dots \tag{I} \] ``successiver relativer Minima'' stellen. Wenn zwei benachbarte Systeme der Folge (I), z. B. \((\omega_0,\omega_0')\) und \((\omega_1, \omega_1')\) bei den Werten \(p_0,p_0'\) und \(p_1,p_1'\) der Veränderlichen erhalten werden, so ist der absolute Betrag der Determinante \(\left| \begin{smallmatrix} p_0,& p_1\\ p_0', & p_1'\end{smallmatrix}\right| =\pm 1\) der Einheit gleich. Mit Hülfe dieses Fundamentaltheorems beweist der Verf., dass alle Glieder der Reihe (I) durch die Anwendung des Kettenbruch-Algorithmus nach und nach berechnet werden können, wenn irgend welche zwei benachbarte Glieder derselben bekannt sind. Durch die Substitution \(\left(\begin{smallmatrix} p_0 & p_1\\ p_0' & p_1'\end{smallmatrix}\right) = \pm 1\) oder \(\left( \begin{smallmatrix} p_1 & p_0\\ p_1' & p_0'\end{smallmatrix}\right) = \mp 1\) gehen die gegebenen Formen in die äquivalenten Formen \(\left[ \begin{smallmatrix} \omega_0, & \omega_1\\ \omega_0', & \omega_1'\end{smallmatrix}\right]\) oder \(\left[ \begin{smallmatrix} \omega_1, & \omega_0\\ \omega_1', & \omega_0'\end{smallmatrix}\right]\) über, welche ``reducirte Formensysteme der ersten und zweiten Art'' genannt werden. Die Formensysteme \(\left[ \begin{smallmatrix} \lambda, & \mu\\ \lambda', & \mu' \end{smallmatrix}\right]\) und \(\left[\begin{smallmatrix} \tau\lambda, & \tau\mu\\ \tau' \lambda', & \tau'\mu'\end{smallmatrix}\right]\) werden bei allen Werten von \(\tau\) und \(\tau'\) als gleichbedeutend betrachtet und werden durch ``das normal dargestellte Formensystem'' \(\left[ \begin{smallmatrix} 1, & \varphi\\ 1, & \varphi' \end{smallmatrix}\right],\left(\varphi = \frac{\mu}{\lambda}, \varphi' = \frac {\mu'}{\lambda'}\right)\) ersetzt. Jedes reducirte Formensystem wird in ein reducirtes Formensystem erster oder zweiter Art durch zwei nach einander folgende Substitutionen \(\left( \begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix} \right)\) und \(\left( \begin{smallmatrix} 1 & \delta\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)\) transformirt. Der Coefficient \(\delta\) wird mit Hülfe des Kettenbruch-Algorithmus berechnet. Durch Anwendung solcher Substitutionen kann man eine unendliche Reihe äquivalenter reducirter Formensysteme einer und derselben Art \(\left[ \begin{smallmatrix} 1, & \varphi_0\\ 1, & \varphi_0'\end{smallmatrix} \right],\) \(\left[ \begin{smallmatrix} 1, & \varphi_1\\ 1, & \varphi_1'\end{smallmatrix} \right],\) \(\left[ \begin{smallmatrix} 1, & \varphi_2\\ 1, & \varphi_2'\end{smallmatrix} \right], \dots\) bekommen. Damit diese Reihe periodisch sei, ist es notwendig und hinreichend, dass \(\varphi_0\) und \(\varphi_0'\) conjugirte algebraische Zahlen seien, welche einer quadratischen Gleichung mit positiver Discriminante genügen. Diese bemerkenswerte Eigenschaft der reducirten Formensysteme erlaubt, alle Fundamentalaufgaben der Theorie der algebraischen Zahlen eines entsprechenden quadratischen Körpers zu lösen. Im zweiten Teile des Werkes: ``Successive relative Minima des Systems simultaner Linearformen \(\omega = X\lambda + X'\mu + X''\nu\) und \(\omega' = X(l'+l'' i) + X'(m'+m'' i) + X''(n'+n''i)\) mit ganzen rationalen Veränderlichen'' betrachtet der Verf. von dem im ersten Teile des Werkes festgestellten Gesichtspunkte aus relative Minima eines gegebenen Formensystems, die Schar \((S)\) aller Systeme \((\omega,\omega'),\) welche relative Minima sind, der Schar \((S)\) angehörige benachbarte Systeme und die unendliche Folge (I) der successiven relativen Minima. Das Formensystem \(\left[ \begin{smallmatrix} \lambda, & \mu, & \nu\\ l'+l'' i, & m'+m'' i, & n'+n''i\end{smallmatrix} \right]\) wird reducirtes System erster oder zweiter Art genannt, wenn \((\mu, m'+m''i)\) das erste oder zweite dem \((\lambda, l'+l'' i)\) benachbarte System ist. Jedes normal dargestellte reducirte Formensystem \(\left[ \begin{smallmatrix} 1, & \varphi, & \psi\\ 1, & a+bi, & c+di\end{smallmatrix} \right]\) wird in ein reducirtes Formensystem erster oder zweiter Art durch zwei nach einander folgende Substitutionen \(\left( \begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{smallmatrix} \right)\) und \(\left( \begin{smallmatrix} 1 & p & q\\ 0 & p' & q'\\ 0 & p'' & q''\end{smallmatrix} \right) = \pm 1\) transformirt. Den Algorithmus, mit dessen Hülfe die Coefficienten der zweiten Substitution bestimmt werden, hält der Verf. für eine Verallgemeinerung des Ketten-Algorithmus. Diese Coefficienten werden folgendermassen berechnet. Das gegebene Formensystem geht in das vermittelnde Formensystem \(\left[\begin{smallmatrix} 1, & \varphi_1, & \psi\\ 1, & a_1+b_1i, & c_1+d_1i\end{smallmatrix} \right]\) durch die Substitution \(\left(\begin{smallmatrix} 1 & \beta & \gamma\\ 0 & \beta' & \gamma'\\ 0 & \beta'' & \gamma''\end{smallmatrix} \right) = \pm 1\) über, deren Coefficienten mit Hülfe bekannter Operationen und ohne Proben bestimmt werden. Dieses vermittelnde Formensystem genügt folgenden Bedingungen: 1) Die Determinante \(\left| \begin{smallmatrix} 1 & \varphi_1 & \psi_1\\ 1 & a_1 & c_1\\ 0 & b_1 & d_1\end{smallmatrix} \right| = x_1\) ist eine positive Zahl. 2) Die positive quadratische Form \([(a_1-\varphi_1)X'+(c_1+\psi_1)X'']^2+ [b_1X'+d_1X'']^2=A_1X^{\prime2}+2BX'X''+ C_1X^{\prime\prime2}\) ist eine reducirte binäre, d.h. \(A_1-B_1\geqq0\), \(B_1\geqq 0\) und \(C_1-B_1\geqq 0\). 3) \(b_1\geqq 0\) und \(d_1\leqq 0\). 4) \(0<\varphi_1<1\) und \(0<\psi_1<1\). Aus den Coefficienten des erhaltenen vermittelnden Formensystems wird das reducirte Formensystem erster Art mit Hülfe von nicht mehr als vier Proben gebildet, und somit bestimmt man die gesuchte Substitution. Der Verf. giebt ohne Beweis auch eine Algorithmus für die Transformation eines gegebenen Formensystems in das reducirte Formensystem zweiter Art. Damit die unendliche Reihe \[ \left[\begin{smallmatrix} 1, & \varphi_0, & \psi_0\\1, & a_0+b_0i, & c_0 + d_0i\end{smallmatrix}\right],\quad \left[\begin{smallmatrix} 1, & \varphi_1, & \psi_1\\ 1,& a_1+b_1i, & c_1+d_1i\end{smallmatrix}\right],\dots \] äquivalenter reducirter Formensysteme einer und derselben Art periodisch sei, ist es notwendig und hinreichend, dass die Coefficienten des ersten Formensystems \(\varphi_0\), \(a_0+b_0i\) und \(\psi_0\), \(c_0+d_0i\) entsprechend conjugirte algebraische algebraische Zahlen seien, welche zu dem kubischen Körper mit einer negativen Determinante gehören. Zwei reducirte Formensysteme sind nur dann äquivalent, wenn sie einer und derselben Periode angehören. Der absolute Betrag der aus den Coefficienten jedes reducirten Formensystems gebildeten Determinante \(\left|\begin{smallmatrix} 1 & \varphi & \psi\\ 1 & a & c\\ 0 & b & d\end{smallmatrix}\right|=x\) ist immer grösser als \(\sqrt{\frac 34}\). Auf Grund dieses Satzes und aus der Betrachtung der Perioden reducirter Formensysteme gelangt man zur Lösung der oben erwähnten Fundamentalaufgaben der Theorie der algebraischen Zahlen eines kubischen Körpers mit negativer Discriminante. Im dritten Teile des Werkes: ``Successive relative Minima des Systems simultaner Linearformen \(\omega=X\lambda+X'\mu+X''\nu\), \(\omega'=X\lambda'+X'\mu'+X''\nu'\) und \(\omega''=X\lambda''+X'\mu''+X''\nu''\) mit ganzen rationalen Veränderlichen'' werden dieselben Aufgaben wie in den beiden ersten Teilen gelöst, wobei die oben für zwei simultane Formen festgestellten Definitionen nur verallgemeinert werden. Der Verf. giebt einen Algorithmus für die Transformation der reducirten Formensysteme gebildeten Determinante ist grösser als 1. Auf Grund dieses Satzes und aus der Betrachtung der Perioden reducirter Formensysteme erhält man die Lösung der oben erwähnten Fundamentalaufgaben der Theorie der algebraischen Zahlen eines kubischen Körpers mit positiver Discriminante. Alle vom Verf. gegebenen Algorithmen unterscheiden sich dadurch von bekannten, zur Lösung der oben erwähnten Aufgaben dienenden Methoden, welche in der Anwendung einer endlichen Zahl von Proben bestehen, dass die neuen Algorithmen eine Gruppe bekannter Operationen mit Hinzufügung von nicht mehr als vier Proben bilden. In numerischen Beispielen zeigt der Verf., dass die neuen Algorithmen ohne Mühe in der Praxis angewandt werden können. Mit Hülfe eines der Algorithmen wird z.B. für die Gleichung \(\varrho^3=23\) die algebraische Fundamentaleinheit \(2\,166\,673\,601+ 761\,875\,860\,\varrho+267\,901\,370\,\varrho^2\) berechnet.