Ueber gemeinsame Vielfache linearer Differentialausdrücke und lineare Differentialgleichungen derselben Klasse. (Q1521909)

Zweck der Arbeit ist, zu zeigen, wie der von Riemann eingeführte Begriff einer Klasse von linearen Differentialgleichungen, der in den neueren Untersuchungen von Fuchs (Berl. Ber. 1888 ff.) eine wichtige Rolle spielt, mit dem Begriff des gemeinsamen Vielfachen zweier linearen Differentialausdrücke zusammenhängt. Sind \(P(y)\) und \(R(y)\) zwei solche Ausdrücke von den resp. Graden \(\nu\) und \(n,\) so wird das kleinste gemeinsame Vielfache beider durch den Differentialausdruck niedrigster Ordnung \(Z\) dargestellt, der durch \(P\) und \(R\) zugleich teilbar ist, \(Z \equiv SP \equiv QR;\) er ist höchstens von der Ordnung \(n+\nu,\) die Coefficienten von \(S\) und \(Q\) bestimmen sich bis auf einen gemeinsamen Factor durch Auflösung von linearen Gleichungen. Haben \(P\) und \(R\) einen grössten gemeinsamen Teiler von der Ordnung \(\sigma,\) so ist \(Z\) von der Ordnung \(n+\nu-\sigma.\) Sei nun \(\nu\leqq n-1,\) so gehört die Gleichung \(S=0,\) wie unmittelbar zu ersehen, mit \(R=0\) zu derselben Klasse, und umgekehrt, wenn \(S=0\) mit \(R=0\) zu derselben Klasse gehört, so ist \(SP(y)\) durch \(R(y)\) teilbar, \(SP(y) \equiv QR(y),\) \(SP\) also ein gemeinsames Vielfaches von \(P\) und \(R.\) Hieraus ergiebt sich ein Mittel, alle mit \(R=0\) zu derselben Klasse gehörigen Gleichungen zu finden, und ein einfacher Weg, alle von Fuchs a. a. O. bewiesenen Sätze abzuleiten.