Zur Theorie der adjungirten Differentialgleichungen. Habilitationsschrift. (Q1521911)

Bilden \(y_1, \dots, y_n\) ein Fundamentalsystem von Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, so genügen die logarithmischen Ableitungen der Determinante \(D(y_1 \dots y_n) = | y_\lambda^{(\kappa-1)} |,\) nach den Elementen der \(\kappa^{\text{ten}}\) Zeile genommen, \(z_{\kappa,\lambda} = \frac {\partial\log D}{\partial y_\lambda^{(\kappa-1)}}\) \((\lambda = 1,2, \dots, n)\) ebenfalls einer homogenen linearen Differentialgleichung, welche Cels, der sie zuerst untersucht hat, die ``Adjungirte der \(\kappa^{\text{ten}}\) Zeile'' nennt. Im vorliegenden Aufsatz werden einige weitere Eigenschaften dieser Gleichung, die kürzer ``\(\kappa^{\text{te}}\) Adjungirte'' genannt wird, abgeleitet. Insbesondere wird der Fall \(\kappa=1\) näher untersucht; zunächst werden die Bedingungen dafür explicite angegeben, dass eine lineare homogene Differentialgleichung mit ihrer ersten Adjungirten übereinstimmt. Hierbei ergiebt sich, dass, wie bereits Cels gefunden hat, erstere von gerader Ordnung sein muss. Ferner wird der eigentümliche Zusammenhang zwischen der ersten und \(n^{\text{ten}}\) (Lagrange'schen) Adjungirten aufgedeckt und gezeigt, dass nur für lineare homogene Differentialgleichungen mit constanten Coefficienten die beiden Adjungirten übereinstimmen. Endlich gilt, wie für die Lagrange'sche Adjungirte, der Satz, dass sich die erste Adjungirte eines zusammengesetzten Differentialausdrucks aus den ersten Adjungirten der einzelnen Componenten in umgekehrter Reihenfolge zusammensetzt.