Sur une série relative à la théorie des équations différentielles linéaires à coefficients périodiques. (Q1521924)

Für die Theorie der Gleichung (1) \(d^2y/dx^2 +p(x)y = 0,\) worin \(p(x)\) eine reelle continuirliche und periodische Function von \(x\) mit der Periode \(\omega\) bedeutet, ist die Betrachtung der Constante \(\tfrac {1}{2} (f(\omega) +\varphi' (\omega)) = A,\) wo \(f(x)\) und \(\varphi (x)\) zwei Lösungen von (1) sind, mit den Anfangsbedingungen \(f(0) = 1\), \(f'(0) = 0\); \(\varphi(0) = 0\), \(\varphi'(0) = 1\) von Wichtigkeit. Ist nämlich \(A^2<1,\) so sind alle Lösungen von (1) für jeden reellen Wert von \(x\) endlich. Der Verf. stellt \(A\) durch eine convergente Reihe dar, deren Glieder aus vielfachen Integralen bestehen, und gelangt durch Discussion derselben zu folgenden zwei Fällen, in denen \(A^2<1\) ist: 1) wenn \(p\) nur positive oder Nullwerte annimmt und die Bedingung erfüllt: \(\omega \int_0^\omega p(x)dx \leqq 4;\) 2) wenn \(p\) eine ungerade Function ist und die durch die Relation \(\int pdx = P\) mit der Bestimmung \(\int_0^\omega Pdx = 0\) eingeführte Function \(P\) die Eigenschaft hat, dass \(\omega \int_0^\omega P^2 dx \leqq 4.\)