Allgemeine Untersuchungen über die Reduction partieller Differentialgleichungen auf gewöhnliche Differentialgleichungen. (Q1521949)

Die von Königsberger angeregte, sehr gründliche und dankenswerte Arbeit sucht das im Titel angegebene Problem in möglichster Allgemeinheit zu lösen. Eine partielle Differentialgleichung heisst auf gewöhnliche Differentialgleichungen reducirbar, wenn die abhängige Variable \(V\) der \(n+1\) unabhängigen Variabeln \(\varrho, \varrho_1, \dots, \varrho_n\) gleich gesetzt werden kann dem Producte \(V=R.R_1\dots R_n,\) und wenn für \(R_k\) jedes beliebige Integral einer bestimmten gewöhnlichen Differentialgleichung \(f_k \left(R_k, \frac {dR_k}{d\varrho_k}, \cdots, \frac {d^{m_k}R_k}{d^{m_k}\varrho_k}\right) = 0\) gesetzt wird, wo \(f_k\) eine ganze Function ihrer Argumente sein soll, während die Coefficienten beliebige Functionen der Variable \(\varrho_k\) sein dürfen. Zunächst ergiebt sich, dass die Zahl, welche angiebt, wie oft \(V\) in der gegebenen partiellen Differentialgleichung nach \(\varrho_k\) differentiirt erscheint, mindestens so gross ist wie die Ordnung \(m_k\) der die Function \(R_k\) definirenden Differentialgleichung \(f_k=0.\) Ist diese Bedingung erfüllt, so sind drei Fälle möglich: 1) Die partielle Differentialgleichung hat die Form: \[ \varPsi = \Pi_{h,h_1,\dots,h_n} \left\{V-R^{(h)}.R_1^{(h_1)}\dots R_n^{(h_n)} \right\} = 0, \] wenn mit \(R_k^{(h_k)}\) die \(\lambda_k\) Lösungen einer in \(R_k\) algebraischen Gleichung bezeichnet werden, deren Coefficienten genze homogene Functionen gleichen Grades von \(V, \partial^{a_k} V/ \partial^{a_k} \varrho_k\) sind. 2) Die partielle Differentialgleichung ist eine algebraische Folge von \(n+1\) gewöhnlichen homogenen Differentialgleichungen \[ \varPhi_k \left( V, \frac {\partial V}{\partial\varrho_k}, \cdots, \frac {\partial^{m_k}V}{\partial\varrho_k^{m_k}} \right) = 0. \] 3) Die partielle Differentialgleichung lässt sich aus den beiden eben angegebenen Typen durch algebraische und analytische Operationen und mit Benutzung der Relationen: \[ V^n\cdot \frac {\partial^{\alpha+\alpha_1+\cdots+\alpha_n}V} {\partial\varrho^\alpha \dots \partial\varrho_n^{\alpha_n}} = \frac {\partial^\alpha V}{\partial \varrho^\alpha} \cdots \frac{\partial^{a_n}V}{\partial\varrho^{a_n}} \] herleiten. Im zweiten Abschnitt wird die gewonnene Theorie auf die Integration der Potentialgleichung angewandt, und es werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Reduction derselben aufgestellt. Auch die Aufgabe, alle diesen Bedingungen entsprechenden Flächensysteme herzuleiten, ist im wesentlichen gelöst. Es mag besonders hervorgehoben werden, dass bei früheren Arbeiten über die Reduction der Potentialgleichung das eingeführte krummmlinige Coordinatensystem stets orthogonal gewählt wurde; die vorliegenden Untersuchungen ergeben, dass diese Annahme keine willkürliche und nur zweckmässige, sondern eine in dem Wesen des Problems begründete ist.