On the singular points of a function given by its series expansion and the impossibility of analytic continuation in some very general cases. (Q1522033)

Die Abhandlung knüpft an Untersuchungen von Hadamard an, über welche in F. d. M. 24, 359, 1892 (siehe JFM 24.0359.01) berichtet wurde. Von der Thatsache ausgehend, dass der Convergenzradius einer Potenzreihe \(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) der reciproke Wert der oberen Unbestimmtheitsgrenze der Wertmenge \(| a_1|, \sqrt{| a_2|}, {\root 3\of {| a_3|}}, \dots, {\root n\of {| a_n|}},\dots\) ist, beweist der Verf. zunächst folgenden Satz: Es sei \(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) eine Potenzreihe mit dem Convergenzradius 1. Ferner mögen \(\lambda,t\) zwei feste reelle Grössen bezeichnen, welche der Bedingung \(0<\lambda<t<1\) genügen. Endlich seien \(m,p,\nu\) positive ganze Zahlen, die gleichzeitig ins Unendliche wachsen, und zwar derart, dass stets \(\nu\geqq \lambda m\) und \(\lim p/mt=1\) ist. Bildet man nun die Function \(\varphi_m(t)= \sum_{k=-\nu}^\nu a_{m+k}t^k\cdot \frac {\varGamma (p+1)\varGamma(m+k+1)} {\varGamma(m+1)\varGamma(p+k+1)},\) so ist die obere Unbestimmtheitsgrenze von \(\root m\of{| \varphi_m(t)|}\) kleiner als 1, falls \(z=1\) kein singulärer Punkt der Reihe \(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) ist. Wenn also die genannte Unbestimmtheitsgrenze \(=1\) ist, so wird \(z=1\) sicher singulärer Punkt sein. -- Der Verf. verallgemeinert diesen Satz noch weiter und zeigt, dass derselbe sich unter gewissen Einschränkungen auch umkehren lässt. Auf Grund dieser Ereignisse gelingt es nun, sehr allgemeine Beispiele von solchen Potenzreihen zu bilden, die jeden Punkt ihres Convergenzkreises zum singulären Punkt haben und daher keine analytische Fortsetzung besitzen. Als besonders einfaches Beispiel heben wir das folgende hervor: Hat die Potenzreihe \(\sum a_\nu z^{c_\nu}\) einen endlichen Convergenzradius, so gestattet sie keine Fortsetzung, wenn \(c_{\nu+1}-c_\nu\) mit \(\nu\) über alle Grenzen wächst. -- Am Schluss bemerkt der Verf., dass wahrscheinlich ``die allgemeinsten Potenzreihen diejenigen seien, welche eine Fortsetzung nicht besitzen.''