Concerning transcendentally transcendental functions. (Q1522039)

Ist \({\mathfrak R}\left\{x\right\}\) ein functioneller Rationalitätsbereich, d. h. ein System von unendlich vielen Functionen von \(x,\) in welchem die Operationen der Addition, Subtraction, Multiplication und Division (abgesehen von der Division durch 0) unbeschränkt ausführbar sind, so heisst eine Function \(\varphi(x)\) bekanntlich algebraisch oder transcendent bezüglich \({\mathfrak R}\left\{ x\right\},\) je nachdem sie einer algebraischen Gleichung mit in \({\mathfrak R}\left\{ x\right\}\) liegenden Coefficienten genügt oder nicht. Der Verf. teilt nun die transcendenten Functionen wieder in zwei Kategorien ein, die er als ``algebraical transcendental'' und ``transcendentally transcendental'' functions unterscheidet. Die ersteren Functionen genügen einer algebraischen Differentialgleichung mit in \({\mathfrak R}\left\{ x\right\}\) liegenden Coefficienten, die letzteren Functionen genügen keiner solchen Differentialgleichung. Nach einigen grundlegenden allgemeinen Sätzen welche diese und einige weitere damit zusammenhängende Begriffsbildungen betreffen, beweist der Verf. insbesondere folgenden Satz: ``Die (nur für \(| x|<1\) existirende) Function \(\varphi(x)=\sum_{\nu=0}^{\nu=\infty}x^{a^\nu}\) (\(a\) eine ganze Zahl \(>1\)) genügt keiner algebraischen Differentialgleichung, deren Coefficienten rational in \(x\) und \(\log x\) sind.'' Die wesentliche Grundlage des Beweises bildet die Thatsache, dass \(\varphi(x)\) der Functionalgleichung \(\varphi(x^a) =\varphi(x)-x\) genügt. In dem letzten Teil seiner Abhandlung giebt der Verf. einen neuen Beweis für den Hölder'schen Satz, dem zufolge die \(\varGamma\)-Function keiner algebraischen Differentialgleichung genügt, deren Coefficienten rationale Functionen sind.