Zur Quadratur des Ellipsoids. (Q1522146)

Die bekannten Formeln für die Complanation des Ellipsoides \[ \frac {x^2}{a^2}+ \frac {y^2}{b^2}+ \frac {z^2}{c^2}=1 \] leiden an dem Mangel, dass eine der drei Axen bevorzugt ist. Der Verfasser zeigt im Anschlusse an die elegante Methode, die von H. Weber herrührt, wie man durch Einführung einer Hülfsveränderlichen einen Ausdruck herleiten kann, der die Symmetrie bezüglich der Axen in Evidenz setzt. Die gesamte Oberfläche des Ellipsoids ist nämlich gleich \[ 2\pi\xi+ 2\pi\int_{-\infty}^0 \frac {s_x^2 s_\xi^2}{(x\xi)^2} \frac {(xdx)}{\sqrt{s_x^4}}- \frac {a^2b^2+ b^2c^2+ c^2a^2}{3} \pi\int_{-\infty}^0 \frac {(xdx)}{\sqrt{s_x^4}}, \] wo \(s_x^4= x(x-a^2) (x-b^2) (x-c^2)\) zu setzen ist; \(\xi\) kommt nur scheinbar in diesem Ausdrucke vor, der für \(\xi=a^2\) in den Weber'-schen übergeht.