Zur Theorie der \(2n\)-fach periodischen Functionen (2. Abhandlung). (Q1522164)

In der ersten Abhandlung (Monatsh. f. Math. 6, F. d. M. 26, 513, 1895, JFM 26.0513.01) hat der Verf. gezeigt, dass jede \(2n\)-fach periodische Function \(f\) (der dort bezeichneten Art) durch Einführung passend gewählter Variabeln in eine mit den Perioden \(P_{\mu\nu}= \delta_{\mu\nu} d_\mu^{-1}\), \(P_{\mu,n+\nu}= \tau_{\mu\nu}\) \((\mu,\nu= 1,2,\dots, n)\) periodischen Function verwandelt werden kann, wobei \(\delta_{\mu\nu}=1,\) wenn \(\mu=\nu,\) und \(=0,\) wenn \(\mu\neq\nu\) ist, die \(d_\mu\) positive ganze Zahlen, die \(\tau_{\mu\nu}\) Grössen von der Art der Thetamoduln sind. Da die Function \(f\) dann auch die Perioden \(P_{\mu\nu}= \delta_{\mu\nu}\), \(P_{\mu, n+\nu}= \tau_{\mu\nu}\) \((\mu,\nu= 1,2,\dots,n)\) besitzt, so ergab sich mit Hülfe eines Weierstrass'schen Satzes sofort, dass sie sich stets rational durch Thetafunctionen darstellen lässt. Im ersten Teile der vorliegenden Abhandlung zeigt der Verf., dass man Functionen mit den Perioden \(P_{\mu\nu}= \delta_{\mu\nu} d_\mu^{-1}, \, P_{\mu,n+\nu}= \tau_{\mu\nu}\) \((\mu,\nu= 1,2,\dots, n)\) direct mit Hülfe von Thetafunctionen herstellen kann, indem man solche Thetafunctionen \(R^{\text{ter}}\) Ordnung bildet, welche den Gleichungen: \[ \begin{aligned} & \psi(v_1|\dots| v_\nu+d_\nu^{-1}|\dots| v_n)=\psi(v_1|\dots | v_\nu|\dots| v)n),\\ & \psi(v_1+\tau_{1\nu}|\dots| v_n+\tau_{n\nu}) =\psi(v_1|\dots | v_n)e^{-(2Rv_\nu+R\tau_{\nu\nu})\pi i}\end{aligned} \] \[ (\nu=1,2,\dots,n) \] genügen. Er erkennt dabei, dass man \(R\) durch die Zahlen \(d_\mu\) teilbar annehmen muss, gelangt unter dieser Annahme zur Darstellung der allgemeinsten Function \(\psi\) durch Thetafunctionen und findet weiter, dass alle diese Functionen durch \(R^n/d_1d_2\dots d_n\) unter ihnen linear und homogen darstellbar sind. Diese von dem Verf. im Anschlusse an die Untersuchungen von Frobenius (J. für Math. 97, F. d. Math. 16, 378, 1884, JFM 16.0378.01) abgeleiteten Resultate ergeben sich übrigens einfacher, wenn man von der Thomae- Prym'schen Darstellung einer Thetafunction \(R^{\text{ter}}\) Ordnung in der Gestalt: \[ \varTheta((v))=\sum^{0,1,\dots,R-1}_{\varrho_1,\dots,\varrho_n} A_{\varrho_1\dots\varrho_n}\vartheta\left[\frac{\varrho}{R}\atop 0\right] ((Rv))_{Ra} \] ausgeht. Hierauf folgt die Untersuchung des Verhaltens der Functionen \(\psi,\) wenn für die Argumente \(v\) einzelne Integrale erster Gattung gewisser algebraischer Gebilde oder Summen von solchen substituirt werden. Zum Schlusse wird die Anzahl der Lösungen der hier dem Jacobi'schen Umkehrproblem entsprechenden Aufgabe bestimmt, und dadurch werden im Zusammenhange mit dem Vorhergehenden zwei Sätze Poincaré's (S. M. F. Bull. 11, F. d. M. 15, 430, 1883, JFM 15.0430.02, und Am. J. 8, F. d. M. 18, 421, 1886, JFM 18.0421.02) neuerdings auf einem ganz verschiedenen Wege bewiesen.