Die Geometrie der Punktepaare und Kreise im Raume nach Grassmann'schen Principien. (Q1522203)

Im Anschluss an frühere Arbeiten, in denen der Verf. die Principien der Linien- und der Kugelgeometrie in einfachster Weise mittels der Grassmann'schen Methoden entwickelt, leistet er hier das Gleiche für die Geometrie der Punktepaare und der Kreise im Raume. Kreise und Punktepaare werden als Einheiten betrachtet, aus denen einerseits die durch drei Kreise darstellbare ``Kreissumme'' \((K),\) andererseits die durch drei Punktepaare darstellbare ``Punktepaarsumme'' \((X)\) numerisch abgeleitet wird. Die Einheitskreise lassen sich selbst wieder aus den zehn äusseren Producten ableiten, die aus je zweien von fünf beliebigen Kugeln des Raumes gebildet werden können. Dabei ist das äussere Product von zwei Kugeln ein Kreis, von drei Kugeln ein Punktepaar. Jede Kreissumme \(K\) bestimmt ein Punktepaar-System \(\varGamma,\) welches aus allen Punktepaaren \(X\) besteht, die der Gleichung \([KX]=0\) genügen. Da Kreise und Punktepaare im Sinne der Ausdehnungslehre einander ergänzende Gebilde sind, so liefert jede Gleichung über Kreise \((K)\) durch Uebergang zu den Ergänzungen eine Gleichung über Punktepaare \((P).\) Hiernach steht dem Punktepaar-System \(\varGamma\) ein Kreissystem \(\Pi\) gegenüber. Beide Systeme heissen apolar zu einander, wenn \([KP]=0\) ist. Endllich bilden Systeme, zwischen denen eine Zahlbeziehung besteht, ein ``Gebiet'' und können gegenseitig aus einander abgeleitet werden. Auf dieser Grundlage ergeben sich zunächst die bereits von Stephanos, Königs und Cosserat gefundenen, den gleichen Gegenstand betreffenden Resultate, jedoch in neuem, systematischem Zusammenhange und mit dem unmittelbaren Ausblick auf weitere Untersuchungen und Resultate, wie es allgemein die Anwendung der Ausdehnungslehre durch die Möglichkeit rein deductiven Verfahrens mit sich zu bringen pflegt.