Ueber den analytischen Ausdruck des Huygens'schen Princips. (Q1522521)

Kirchhoff hat, wie bekannt, die analytische Behandlung der Optik auf einen Satz gegründet, der eine Präcisirung und Verallgemeinerung des Huygens'schen Princips darstellt (cf. F. d. M. XIV. 1882. 829 ff., JFM 14.0829.02). Der Umstand, dass beim Beweise dieses Satzes eine Hülfsfunction benutzt ist, die im Resultat nicht mehr auftritt, hat die Herren Maggi und Beltrami (cf. F. d. M. XX. 1888. 1102, JFM 20.1102.01, XXI. 1889. 1063, JFM 21.1063.01, XXIV. 1892. 983, JFM 24.0983.01) veranlasst, neue Beweise für jenen Satz zu suchen. Keiner derselben ist so einfach, wie die Ableitung, die Herr Gutzmer hier mitteilt. Setzt man in der bekannten Green'schen Formel \[ 4\pi V(x_0,y_0,z_0) = \int\left(V \frac{\partial\frac1r}{\partial n} - \frac1r\frac{\partial V}{\partial n}\right)d\sigma - \int\frac1r \varDelta V.d\tau, \] in der \(d\sigma\) ein Element der Fläche \(S\), \(d\tau\) ein Volumenelement des von \(S\) umschlossenen Raumes ist, \[ V = \varphi\left(x,y,z,t-\frac ra\right), \] wo \(\varphi(x, y, z, t)\) der Gleichung \[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} = a^2\varDelta\varphi \] genügt, so gelangt man durch Ausführung einfacher Rechnungen auf den Kirchhoff'schen Satz.