Sul teorema di Kirchhoff. (Q1522523)

Angeregt durch die Arbeit des Hrn. Gutzmer (vgl. das vorstehende Referat, JFM 26.0940.01), giebt Hr. Beltrami in der ersten Note einen neuen, sehr einfachen Beweis des Kirchhoff'schen Satzes, indem er von der bekannten Gauss'schen Formel ausgeht: \[ \int\frac{dV}{dr}\frac{dS}{r^2} = \int V\frac{d\frac1r}{dn} d\sigma - (\sigma)_0V_0,\tag{a} \] in der \(V_0\) der Wert von \(V\) für \(r=0\) ist und \((\sigma)_0=4\pi\) oder \(=0\), je nachdem der Punkt \(r=0\) innerhalb des von der Fläche \(\sigma\) begrenzten Raumes \(S\) liegt oder ausserhalb. In der zweiten Note (siehe auch JFM 26.0940.02) wird dieser Beweis noch weiter vereinfacht. Herr Beltrami unterscheidet zwischen den partiellen Ableitungen nach \(x\), \(y\), \(z\), bei denen auf die Abhängigkeit der Grösse \(r\) von \(x\), \(y\), \(z\) Rücksicht genommen wird, und denen, bei welchen \(r\) als von \(x\), \(y\), \(z\) unabhängig angesehen wird. Erstere bezeichnet er mit \(d\), letztere mit \(\partial\). Dann gilt für die Function \(U(x, y, z, t)\) die Identität: \[ \frac1{r^2}\frac d{dr}\left(U - r\frac{\partial U}{\partial r}\right) + \Sigma\frac d{dx}\left(\frac1r\frac{\partial U}{\partial x}\right) + \frac1r\left(\frac{\partial^2U}{\partial r^2} - \varDelta_2U\right) = 0.\tag{1} \] Setzt man nun in (a): \[ V = U - r\frac{\partial U}{\partial r}, \] benutzt (1) und drückt das Raumintegral \[ \int dS\Sigma \frac d{dx}\left(\frac1r\frac{\partial U}{\partial x}\right) \] durch Flächenintegrale aus \[ = -\int \frac{U_n}r d\sigma\qquad\left(U_n = \Sigma\frac{\partial U}{\partial x}\frac{dx}{dn}\right), \] so erhält man: \[ (\sigma)_0U_0 = \int \left[\frac{\partial}{\partial r}\fracwithdelims()Ur\frac{dr}{dn} - \frac{U_n}r\right]d\sigma + \int\left(\frac{\partial^2U}{\partial r^2} - \varDelta_2U\right)\frac{dS}r.\tag{2} \] Daraus folgt sofort der Kirchhoff'sche Satz, wenn man \[ U = \varphi\left(x, y, z, t-\frac ra\right) \] setzt, wo \(\varphi(x, y, z, t)\) der Gleichung \[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} = a^2\varDelta_2\varphi \] genügt. Uebrigens kann man, wie Herr Beltrami bemerkt, den Green'schen Satz als Folgerung von (a) ansehen. Mithin handelt es sich bei dem neuen Beltrami'schen Beweise um keine wesentlich neue Idee, sondern hauptsächlich um eine übersichtlichere Gestaltung der Entwickelung.