Das Eikonal. Zusatz. (Q1522577)

Aus Anlass des Czapski'schen Buches wurde in F. d. M. XXV. 1893/94. 1653 (siehe JFM 25.1653.01) berichtet, wie man nach dem Vorgange von Abbe aus der gewöhnlichen Gauss'schen Theorie der optischen Bilder alles das ausscheiden kann, was von der besonderen Gestaltung des optischen Apparats abhängt, und alsdann erkennt, dass sich die Gesetze der Abbildung als einfache geometrische Folge der punktweisen Zuordnung von Object- und Bildraum ergeben. Aber diese Collinearität beider Räume gilt doch nur in erster Annäherung; in Wahrheit darf man sie nicht als Punktmannigfaltigkeiten auffassen, sondern muss sich vorstellen, dass sie strahlenweise auf einander abgebildet seien, und man hat alle geometrischen Consequenzen eines solchen Entsprechens aufzusuchen. Die vorliegende, in diesem Sinne grundlegende Arbeit verzichtet jedoch auf diese für die Gegenwart wenigstens unnötig allgemeine Untersuchung; da nämlich allen optischen Instrumenten die Geltung des Malus'schen Satzes gemeinsam ist, so sollen nur solche strahlenweisen Abbildungen berücksichtigt werden, bei denen einem flächennormalen Büschel des Objectraumes ein ebensolches des Bildraumes entspricht. Werden in einem Raume rechtwinklige Coordinatenaxen (\(x\) als Hauptaxe, \(y\), \(z\) als Seitenaxen) zu Grunde gelegt, so kann jeder Strahl \(\sigma\) durch die Gleichungen: \[ (x-O):m = (y-h):p = (z-k):q \] dargestellt werden, und man kann \(h\), \(k\), \(p\), \(q\) als die vier Strahlencoordinaten ansehen. Ein Büschel von Strahlen ist aber eine zweifache Mannigfaltigkeit; man darf daher innerhalb desselben z. B. \(h\), \(k\) als Functionen von \(p\), \(q\) auffassen; dann ergiebt sich der weittragende Satz, dass die notwendige und hinreichende Bedingung für einen flächennormalen Büschel mit der Integrabilitätsbedingung von \(hdp+kdq\) zusammenfällt. Wenn nun bei gleichzeitiger Betrachtung eines zweiten Raumes alle analogen Grössen durch die entsprechenden grossen Buchstaben bezeichnet werden, so müssen zum Zwecke der Abbildung \(H\), \(K\), \(P\), \(Q\) als Functionen von \(h\), \(k\), \(p\), \(q\) gegeben sein, und diese Gleichungen müssen sich auch umkehren lassen; damit aber ferner der Malus'sche Satz gelte, müssen die partiellen Ableitungen dieser vier Functionen nicht weniger als fünf Bedingungsgleichungen erfüllen, die sich in verschiedene Formen bringen lassen und das ganze Gebiet als der Lehre von den Berührungstransformationen zugehörig kennzeichnen. Um aber bei der Untersuchung der Abbildungsgleichungen diese Bedingungen nicht immer mitschleppen zu müssen, stellt der Verf. eine eigentümliche Function von (nach gewissem Princip auszuwählenden) vieren der acht Coordinaten her, sagen wir \(E(t, u, T, U)\), welche Eikonal genannt werden soll, und welche alle Besonderheiten einer gegebenen Abbildung wiedergiebt, derart, dass man die anderen vier Coordinaten aus den Gleichungen: \[ \pm nv = \frac{\partial E}{\partial t},\,\pm nw = \frac{\partial E}{\partial u},\,\pm NV = \frac{\partial E}{\partial T},\,\pm NW = \frac{\partial E}{\partial U} \] erhalten kann, wobei \(n\), \(N\) gewisse, für beide Räume constante, von den Coordinatenaxen unabhängige Zahlen sind, die für den Fall der Optik in die positiv oder negativ zu nehmenden Brechungsindices übergehen; und es zeigt sich, dass dadurch die Malus'schen Bedingungen von selbst erfüllt werden; sowie auch umgekehrt das Eikonal nur unter Voraussetzung dieser Bedingungen bestimmt werden kann. Da unter den acht Coordinaten gewisse Vertauschungen zulässig sind, so existiren für jede Abbildung im allgemeinen 16 verschiedene Eikonale; die Existenz jedes einzelnen hängt allerdings von dem Nichtverschwinden seiner kritischen Determinante ab, jedoch kann man beweisen, dass von den 16 immer mindestens vier wirklich vorhanden sein müssen. Indem der Verf. dann noch lehrt, wie durch zwei Zusatzglieder in die erzeugende Eikonalfunction die Bedingung aufgenommen werden kann, dass die beiden Strahlen \(\sigma\), \(\Sigma\) die Punkte \(\pi(x, y, z)\), resp. \(\Pi(X, Y, Z)\) enthalten, und wie man aus den Eikonalen der Abbildung des Raumes (1) auf (2) und des Raumes (2) auf (3) das Eikonal der Abbildung (1) auf (3) herstellen kann, hat er die allgemeinen mathematischen Grundlagen zum Abschluss gebracht und wendet sich zu speciellen Anwendungen. Zunächst handelt es sich um die wichtige Frage der Anastigmasie, d. h. um die Abbildung eines homocentrischen Büschels mit dem Scheitel \(\pi\) auf ein ebensolches mit dem Scheitel \(\Pi\). Verlangt man dabei, dass diese Punkte \(\pi\), \(\Pi\) eine körperliche Mannigfaltigkeit ausfüllen sollen, so gelangt man leicht zu dem bekannten Resultat, dass der Malus'sche Satz dieser collinearen Abbildung allgemein widerspricht und nur im trivialen Falle der geometrischen Aehnlichkeit beider Räume (Spiegelung) besteht. Geht man also auf die Forderung einer anastigmatischen Flächen-Mannigfaltigkeit zurück, so findet man, dass man unendlich viele solcher Abbildungen herstellen kann, selbst wenn die beiden Flächen und die Art ihrer punktweisen Zuordnung willkürlich vorgeschrieben werden. Dabei gehorchen die conjugirten Strahlen einem wegen seiner Länge hier nicht wiederzugebenden (von Clausius entdeckten) Cosinussatze, der als Grenzfall den berühmten Sinussatz in sich schliesst; beide erweisen sich also als Sätze der Liniengeometrie, nicht der Optik. Wird dann zur Vereinfachung angenommen, dass die beiden, anastigmatisch abzubildenden Flächen Ebenen (im Endlichen oder Unendlichen) seien, so kann man die Eikonale explicit aufstellen, und z. B. für das Ideal eines Mikroskop-Objectivs aus der Zusatzforderung der geometrischen Aehnlichkeit das Paar orthoskopischer Punkte und den sogenannten Tangentensatz ableiten. Aendert man aber die Fragestellung und untersucht, welchen Bedingungen das Eikonal genügen müsse, damit überhaupt Anastigmasie eintreten könne,; so erhält man bei vorläufiger Beschränkung auf unendlich dünne Büschel eine Bedingung zwischen den zweiten Ableitungen des Eikonals und hat dadurch den Grund zu einer Klassification der Eikonale gelegt, welche zu weiteren, vom Verf. nur skizzirten Fragen anregt. Um den Uebergang zu eigentlich optischen Problemen zu gewinnen, sucht der Verf. die Bedingung dafür, dass die beiden zusammengehörigen Strahlen \(\sigma\), \(\Sigma\) einander stets schneiden; darunter ist als besonderer Fall die Brechung an einer Fläche enthalten; wenn man dabei beide Coordinatensysteme zusammenfallen lässt, so verwandelt sich das Eikonal \(E(p, q, P, Q)\) in eine lineare Function \(\varphi(e, f, g)\) der drei Grössen \[ e = NM - nm,\quad f = NP - np,\quad g = NQ - nq, \] und die brechende Fläche ist durch die Gleichungen \[ x = \frac{\partial\varphi}{\partial e},\quad y = \frac{\partial\varphi}{\partial f},\quad z = \frac{\partial\varphi}{\partial g} \] bestimmt; im besonderen giebt der Verf. das Eikonal für eine Kugelbrechung und anschliessend die Durchrechnung eines Lichtweges für ein Linsensystem. Wenn man aber die Aenderung der Brennlinien eines Büschels bei einer Verschiebung des Lichtweges bestimmen will, so wird man auf den bisher einzig bekannten Weg der Potenzentwicklung des Eikonals gedrängt. Beschränkt man sich alsbald auf die centrirten optischen Systeme, so erscheint \(E(p, q, P, Q)\) als gewöhnliche Potenzreihe der drei Grössen \(p^2+q^2\), \(pP+qQ\), \(P^2+Q^2\), und wenn man die Entwicklung bei den Gliedern zweiter Ordnung abbricht, so erhält man natürlich die Gauss'schen Formeln und dadurch die Beziehung zwischen den Constanten des Eikonals und den Brennweiten. Nimmt man aber die Glieder vierter Ordnung hinzu, so kann man die Constitution des astigmatischen Strahlenbüschels durch die Charlier'sche Aberrationscurve charakterisiren, welche infolge der Annäherung als Unicursalcurve vierter Ordnung bestimmt wird, in Wahrheit aber gar nicht rational zu sein braucht. Im Anschluss daran erbringt der Verf. den bündigen Beweis, dass alle symmetrischen optischen Systeme mit einem principiellen Mangel behaftet sind; wenn bei gegebener Oeffnung hinreichende Correctheit der Zeichnung verlangt wird, so lässt sich die Bildschärfe über eine bestimmte Grenze hinaus nicht steigern, eine Grenze, der man in der Praxis schon sehr nahe sei.: Die Forderungen, welche man an ein ideales Objectiv stellt, Aplanasie, anastigmatische Bildebenung und Correctheit der Zeichnung, setzen (wie seit Seidel und Thiesen bekannt) von den Gliedern vierter Ordnung die Erfüllung von fünf Bedingungsgleichungen voraus; der Verf. leitet sie in einer Weise her, welche die Bedeutung jeder einzelnen deutlich hervortreten lässt und überdies den Vorzug hat, dass sie für centrirte Linsensysteme auch bei nicht-sphärischen Flächen Geltung behalten; und gerade dieser Umstand zeigt, ``dass die gewöhnliche Behandlung der sogenannten sphärischen Aberration grossenteils Sätze enthält, die von der besonderen Erzeugungsweise der dort betrachteten strahlenweisen Abbildungen ganz unabhängig sind.'' ``Der Nutzen, den die Einführung des Eikonals gewährt, ist zunächst formaler Natur, indem man in den Stand gesetzt wird, bei jeder einzelnen Frage die wesentlichen Voraussetzungen reinlich auszuscheiden. Er reicht indessen darüber hinaus, indem es jetzt möglich ist, Problemstellungen von nicht bloss theoretischer Bedeutung ernsthaft zu behandeln, für welche die Methode der Reihenentwickelung kaum den mathematischen Ansatz zu bilden erlaubt; es ist, wenn man sich so ausdrücken will, das vorderste Hindernis aus dem Wege geräumt.''